Derive e determine o domínio de
em cada um dos itens abaixo:
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para derivar a função
e determinar o domínio dela. Para isso, vamos usar regras de derivação de funções compostas e entender o que é o domínio de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar
. Aqui temos uma função composta, porque a exponencial está com a função seno dentro. Para derivar funções compostas, usamos a Regra da Cadeia.
A Regra da Cadeia diz que a derivada de
é
, onde
é a função dentro da exponencial. No nosso caso,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
. Sabemos que a derivada de
é
. Então,
.
Passo 4
Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de
fica:
Passo 5
Agora, vamos determinar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Passo 6
A função exponencial
está definida para todo valor real de
. No nosso caso,
. A função seno
também está definida para todo número real
.
Passo 7
Como tanto a exponencial quanto o seno estão definidos para todos os números reais, o domínio de
é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
A derivada de
é
e o domínio de
é
(todos os números reais).