Derive e determine o domínio de f em cada um dos itens abaixo:
(b) f(x) = e^(sen(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para derivar a função e determinar o domínio dela. Para isso, vamos usar regras de derivação de funções compostas e entender o que é o domínio de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar . Aqui temos uma função composta, porque a exponencial está com a função seno dentro. Para derivar funções compostas, usamos a Regra da Cadeia.
A Regra da Cadeia diz que a derivada de é , onde é a função dentro da exponencial. No nosso caso, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de . Sabemos que a derivada de é . Então, .

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia, a derivada de fica:

Passo 5

Agora, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.

Passo 6

A função exponencial está definida para todo valor real de . No nosso caso, . A função seno também está definida para todo número real .

Passo 7

Como tanto a exponencial quanto o seno estão definidos para todos os números reais, o domínio de é todo o conjunto dos números reais.

Resposta

A derivada de é e o domínio de é (todos os números reais).

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