Calcule as integrais duplas abaixo:
(e) integral duplaR x-raizy d A, R regiaio triangular cortada no primeiro quadrante pela reta y+x=1.

Passo 1

Vamos resolver a integral dupla , onde é a região triangular no primeiro quadrante delimitada pela reta .
Conteúdo da Matéria: Estamos lidando com integrais duplas, que nos permitem calcular volumes sob superfícies sobre regiões planas. Para resolver, precisamos entender como definir os limites de integração para a região e como integrar funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar a região . No primeiro quadrante, a reta corta os eixos em (quando ) e (quando ). Portanto, a região é um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Decidimos os limites de integração. Podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para um valor fixo de entre e , varia de até .
Então, os limites são:
  • varia de a
  • varia de a

Passo 4

Escrevemos a integral dupla com os limites definidos:
integralx=0^1 integraly=0^1 - x (x - raizy) , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 - x (x - raizy) , dy :
x integral0^1 - x dy - integral0^1 - x raizy , dy
Isso pode ser separado em duas integrais:

Passo 6

Calculamos cada parte separadamente.
Primeira parte:
x integral0^1 - x dy = x [y]0^1 - x = x (1 - x)
Segunda parte:
integral0^1 - x raizy , dy = integral0^1 - x y^1/2 , dy = [ 23 y^3/2 ]0^1 - x = 23 (1 - x)^3/2

Passo 7

Substituímos de volta na integral interna:
x (1 - x) - 23 (1 - x)^3/2
Agora, nossa integral dupla se reduz a:
integral0^1 ( x (1 - x) - 23 (1 - x)^3/2 ) dx

Passo 8

Vamos resolver agora a integral em relação a integral0^1 x (1 - x) , dx - 23 integral0^1 (1 - x)^3/2 , dx :
integral x (1 - x) , dx = integral (x - x^2) , dx = x^22 - x^33 g|0^1
Primeira integral:
23 integral (1 - x)^3/2 , dx
Segunda integral:
23 integral1^0 u^3/2 (-du) = 23 integral0^1 u^3/2 du = 23 cdot 25 u^5/2 g|0^1 = 415
Fazendo a substituição , , os limites mudam de para e para :

Passo 9

Calculamos as integrais:
Primeira parte:
1^22 - 1^33 - ( 0 - 0 ) = 12 - 13 = 16
Segunda parte já calculada:
415
Agora, subtraímos a segunda parte da primeira:
16 - 415 = 530 - 830 = -330 = -110

Resposta

O valor da integral dupla é .

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