Calcule integral duplaD exp (x+yx-y)(x-y)^2 d x d y, onde
D=(x, y) in R^2: 1 <=(x-y)^2+(x+y)^2 <= 4, y <= 0, x+y >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região específica no plano . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas e mudança de variáveis para facilitar a resolução. Vamos precisar usar uma substituição que simplifica a expressão dentro da integral e também a região de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na região D = (x, y) in R^2: 1 <= (x-y)^2 + (x+y)^2 <= 4, , y <= 0, , x+y >= 0 que define onde vamos integrar:
u = x - y e v = x + y
Isso pode parecer complicado, mas vamos simplificar fazendo uma mudança de variáveis. Vamos definir:
Essa substituição vai nos ajudar a transformar a região e a integral em algo mais fácil de lidar.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação para mudar as variáveis na integral. O Jacobiano nos diz como as áreas mudam quando fazemos a substituição de variáveis.
As derivadas parciais são:
partial (u, v)partial (x, y) = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y = 1 & -1 1 & 1 = (1)(1) - (-1)(1) = 2
Então, o Jacobiano é 2. Isso significa que .

Passo 4

Vamos reescrever a região y <= 0 e v = x + y >= 0 em termos de y = v - u2 <= 0 Rightarrow v <= u e 1 <= u^2 + v^2 <= 4, v <= u, v >= 0 . A condição define uma região entre círculos de raios 1 e 2 no plano . As outras condições:
Convertendo usando e :
Então, a região em é:

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral duplaD exp (x+yx-y)(x-y)^2 dx , dy = integral duplaD' exp (vu)u^2 cdot 12 du , dv e 12 integral duplaD' exp (vu)u^2 du , dv :
Simplificando:

Passo 6

Vamos agora determinar os limites de integração para u = r cos theta, v = r sin theta e 12 integral1^2 integral0^pi4 exp (r sin thetar cos theta)(r cos theta)^2 cdot r , dtheta , dr . Na região r sin thetar cos theta = tan theta :
  • 12 integral1^2 integral0^pi4 e^tan thetar cos^2 theta , dtheta , dr varia de 1 a 4.
  • varia de 0 até , mas também deve ser positivo para que e .
Convertendo para coordenadas polares ajuda:
Com variando de 1 a 2 e de 0 a (já que implica ).
A integral fica:
Simplificando a expressão dentro da exponencial:
Então, a integral é:

Resposta

Após resolver a integral, encontramos que:
integral duplaD exp (x+yx-y)(x-y)^2 dx , dy = 12 ( e^1 - e^0 ) = 12 (e - 1)
Ou seja, a resposta final é:
e - 12

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