Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
© integral0^4 integral0^1 x e^x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: . A gente está trabalhando com cálculo de integrais duplas, que servem para calcular áreas ou volumes em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e lidar com os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a parte interna da integral, que é em relação a . A função que vamos integrar é . Note que é uma constante em relação a , então podemos tratá-la como um multiplicador.

Passo 3

A integral de x cdot e^x yx = e^x y em relação a é , porque a derivada de em relação a nos dá . Então, a integral de será:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de e^x (1) - e^x (0) = e^x - e^0 = e^x - 1 de 0 a 1:

Passo 5

Substituímos o resultado na integral externa, que agora é:
integral0^4 (e^x - 1) , dx

Passo 6

Vamos integrar e^x - x em relação a . A integral de é e a integral de é :

Passo 7

Aplicamos os limites de integração de (e^4 - 4) - (e^0 - 0) = e^4 - 4 - 1 = e^4 - 5 de 0 a 4:

Resposta

A integral dupla é igual a .

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