Sejam
naturais. Dizemos que
quando
para algum inteiro
. Prove as seguintes propriedades:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, para qualquer número natural
, temos que
. A matéria envolvida aqui é a ordem dos números naturais, e vamos precisar entender a definição de
, que é quando
para algum inteiro
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição dada:
significa que existe um inteiro
tal que
. No nosso caso, queremos provar que
. Então, substituindo
por
, precisamos encontrar um inteiro
que satisfaça:
Passo 3
Agora, precisamos descobrir qual valor de
faz essa igualdade ser verdadeira. Vamos isolar
:
Simplificando:
Passo 4
Então, encontramos que
é o valor que satisfaz a equação
. Como
é um inteiro (no caso, zero), isso confirma a nossa definição de
.
Resposta
Portanto, para qualquer número natural
, temos que
porque podemos escolher
.