Sejam m, n naturais. Dizemos que m >= n quando m=n+a para algum inteiro a. Prove as seguintes propriedades:
m >= m.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, para qualquer número natural , temos que . A matéria envolvida aqui é a ordem dos números naturais, e vamos precisar entender a definição de , que é quando para algum inteiro .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição dada: m = m + a significa que existe um inteiro tal que . No nosso caso, queremos provar que . Então, substituindo por , precisamos encontrar um inteiro que satisfaça:

Passo 3

Agora, precisamos descobrir qual valor de a = m - m faz essa igualdade ser verdadeira. Vamos isolar a = 0 :
Simplificando:

Passo 4

Então, encontramos que é o valor que satisfaz a equação . Como é um inteiro (no caso, zero), isso confirma a nossa definição de .

Resposta

Portanto, para qualquer número natural , temos que porque podemos escolher .

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