Calcule as integrais duplas dadas abaixo:
(a) integral0^1 integralx^3 x+1 x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: integral0^1 integralx^3 x+1 x y , dy , dx. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções de duas variáveis passo a passo, integrando uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a estrutura da integral. Temos que integrar em relação a y primeiro, de y = x até y = 3x + 1, e depois em relação a x, de x = 0 até x = 1. A função que vamos integrar é x y.

Passo 3

Vamos integrar x y em relação a y, mantendo x constante. A antiderivada de y em relação a y é y^22, então:
integral x y , dy = x cdot y^22 = x y^22

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração para y:
x y^22 |y = x^y = 3x + 1 = x (3x + 1)^22 - x (x)^22
Simplificando:
x (9x^2 + 6x + 1)2 - x^32 = 9x^3 + 6x^2 + x2 - x^32

Passo 5

Agora, combinamos os termos semelhantes:
9x^3 + 6x^2 + x - x^32 = 8x^3 + 6x^2 + x2

Passo 6

Simplificamos dividindo cada termo por 2:
8x^32 + 6x^22 + x2 = 4x^3 + 3x^2 + x2

Passo 7

Agora, integramos essa expressão em relação a x, de 0 a 1:
integral0^1 (4x^3 + 3x^2 + x2) , dx
Calculando as antiderivadas:
integral 4x^3 , dx = x^4 integral 3x^2 , dx = x^3 integral x2 , dx = x^24
Então, a antiderivada completa é:
x^4 + x^3 + x^24

Passo 8

Aplicamos os limites de 0 a 1:
(x^4 + x^3 + x^24) |0^1 = (1 + 1 + 14) - (0 + 0 + 0) = 2 + 14 = 94

Resposta

A integral dupla é igual a 94.

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