Calcule as Integrais Duplas:
,
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
- Região de integração
é o retângulo definido por
- Função a integrar (integrando) é
. - O que o enunciado pede: calcular a integral dupla
Passo 2
Como integrar sobre um retângulo: usamos o Teorema de Fubini, que permite transformar a integral dupla numa integral iterada. Em particular,
ou seja, integramos primeiro em relação a
(tratando
como constante) e depois em relação a
. Também usaremos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e fatores constantes podem ser puxados para fora da integral.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Separe em duas integrais usando linearidade:
Aqui
é constante em relação a
, logo
Para a segunda:
Somando os dois resultados da integral interna obtemos
Passo 4
Agora integramos em
a expressão obtida:
Novamente, usando linearidade:
Calcule cada uma:
Somando:
Passo 5
Verificação alternativa rápida (modo de checagem): separar a integral dupla em duas integrais
Como
é um retângulo, essas separam-se em produtos de integrais unidimensionais:
Somando dá novamente
, confirmando o cálculo.