Calcule as Integrais Duplas:
\iint_{B}(2 x+4 y), 1 \leqslant x \leqslant 2,2 \leqslant y \leqslant 3

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • Região de integração B é o retângulo definido por
1 \leqslant x \leqslant 2,\qquad 2 \leqslant y \leqslant 3.
  • Função a integrar (integrando) é f(x,y)=2x+4y.
  • O que o enunciado pede: calcular a integral dupla
\iint_{B} (2x+4y)\,dA.

Passo 2

Como integrar sobre um retângulo: usamos o Teorema de Fubini, que permite transformar a integral dupla numa integral iterada. Em particular,
\iint_{B} (2x+4y)\,dA = \int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=2}^{3} (2x+4y)\,dy\right)dx,
ou seja, integramos primeiro em relação a y (tratando x como constante) e depois em relação a x. Também usaremos a linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e fatores constantes podem ser puxados para fora da integral.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=2}^{3} (2x+4y)\,dy.
Separe em duas integrais usando linearidade:
\int_{2}^{3} 2x\,dy + \int_{2}^{3} 4y\,dy.
Aqui x é constante em relação a y, logo
\int_{2}^{3} 2x\,dy = 2x\int_{2}^{3} dy = 2x\,(3-2) = 2x.
Para a segunda:
\int_{2}^{3} 4y\,dy = 4\cdot\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{2}^{3} = 4\cdot\left(\frac{9-4}{2}\right)=4\cdot\frac{5}{2}=10.
Somando os dois resultados da integral interna obtemos
\int_{2}^{3} (2x+4y)\,dy = 2x + 10.

Passo 4

Agora integramos em x a expressão obtida:
\int_{x=1}^{2} (2x+10)\,dx.
Novamente, usando linearidade:
\int_{1}^{2} 2x\,dx + \int_{1}^{2} 10\,dx.
Calcule cada uma:
\int_{1}^{2} 2x\,dx = \left[x^{2}\right]_{1}^{2} = 4-1=3,
\int_{1}^{2} 10\,dx = 10\cdot(2-1)=10.
Somando:
3+10=13.

Passo 5

Verificação alternativa rápida (modo de checagem): separar a integral dupla em duas integrais
\iint_{B} 2x\,dA \quad\text{e}\quad \iint_{B} 4y\,dA.
Como B é um retângulo, essas separam-se em produtos de integrais unidimensionais:
\iint_{B} 2x\,dA = 2\left(\int_{1}^{2} x\,dx\right)\left(\int_{2}^{3} dy\right)=2\cdot\frac{3}{2}\cdot 1=3,
\iint_{B} 4y\,dA = 4\left(\int_{2}^{3} y\,dy\right)\left(\int_{1}^{2} dx\right)=4\cdot\frac{5}{2}\cdot 1=10.
Somando dá novamente 13, confirmando o cálculo.

Resposta

\;13\;

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