calcule as Integrais Duplas:
\iint_{B} x^{3} y d x d y, sendo B_{0} retángulo 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{B_0} x^{3}y\,dx\,dy,
onde B_0 é o retângulo dado por
0 \leq x \leq 1,\qquad 0 \leq y \leq 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A região de integração é o retângulo fechado [0,1]\times[0,1].
  • A função integrando é f(x,y)=x^{3}y.
    A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla acima?

Passo 2

Como vamos resolver (vidas práticas e calma): para integrar em um retângulo podemos usar integrais iteradas. Teorema que usamos (em linguagem simples): se f(x,y) é contínua num retângulo, então a integral dupla sobre esse retângulo existe e pode ser calculada por integrais iteradas em qualquer ordem. Em símbolos:
\iint_{[a,b]\times[c,d]} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{a}^{b}\!\left(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\right)dx = \int_{c}^{d}\!\left(\int_{a}^{b} f(x,y)\,dx\right)dy.
Aqui f(x,y)=x^{3}y é polinômio (logo contínua), então podemos aplicar esse teorema sem preocupação. Vou integrar primeiro em x e depois em y (é o jeito direto e padrão).

Passo 3

Escrevendo a integral como iterada com x interno:
\iint_{B_0} x^{3}y\,dx\,dy = \int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{1} x^{3}y\,dx\right)dy.
Explicação útil: dentro da integral interna em x tratamos y como constante — é só um parâmetro naquele momento. Depois integraremos em y.

Passo 4

Calcule a integral interna em x:
\int_{x=0}^{1} x^{3}y\,dx = y\int_{0}^{1} x^{3}\,dx,
porque y é constante quando integramos em x. Agora aplicamos a regra da primitiva de potência:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}.
Então, avaliando nos limites 0 e 1,
\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \left.\frac{x^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}.
Portanto a integral interna vale
\int_{0}^{1} x^{3}y\,dx = y\cdot\frac{1}{4} = \frac{y}{4}.

Passo 5

Agora integramos a função resultante em y:
\int_{y=0}^{1} \frac{y}{4}\,dy = \frac{1}{4}\int_{0}^{1} y\,dy.
Novamente usamos primitiva de potência:
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
Avaliando de 0 a 1,
\int_{0}^{1} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Multiplicando pelo fator fora,
\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{8}.

Passo 6

Verificação curta (trocar a ordem das integrais): escrevendo a integral integrando primeiro em y,
\iint_{B_0} x^{3}y\,dx\,dy = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1} x^{3}y\,dy\right)dx.
Aqui x^{3} é constante no interior, então
\int_{y=0}^{1} x^{3}y\,dy = x^{3}\int_{0}^{1} y\,dy = x^{3}\cdot\frac{1}{2} = \frac{x^{3}}{2}.
Agora
\int_{x=0}^{1} \frac{x^{3}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{3}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{8},
o que confirma o resultado obtido antes. Bom sinal: ambos os caminhos coincidem.

Resposta

\dfrac{1}{8}

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