calcule as Integrais Duplas: \iint_{B} x^{3} y d x d y, sendo B_{0} retángulo 0 \leq x \leq 1 e 0 \leq y \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{B_0} x^{3}y\,dx\,dy,
onde B_0 é o retângulo dado por
0 \leq x \leq 1,\qquad 0 \leq y \leq 1.
Informações relevantes fornecidas:
A região de integração é o retângulo fechado [0,1]\times[0,1].
A função integrando é f(x,y)=x^{3}y.
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla acima?
Passo 2
Como vamos resolver (vidas práticas e calma): para integrar em um retângulo podemos usar integrais iteradas. Teorema que usamos (em linguagem simples): se f(x,y) é contínua num retângulo, então a integral dupla sobre esse retângulo existe e pode ser calculada por integrais iteradas em qualquer ordem. Em símbolos:
Aqui f(x,y)=x^{3}y é polinômio (logo contínua), então podemos aplicar esse teorema sem preocupação. Vou integrar primeiro em x e depois em y (é o jeito direto e padrão).