Calcule as integrais duplas:
\iint_{D}(x+y) d A, \quad D é limitada por y=0, y=1-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(x+y)\,dA,
onde D é a região limitada por y=0 e y=1-x^{2}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função a integrar é x+y.
  • A região D está entre as curvas y=0 (eixo x) e y=1-x^{2} (parábola que abre para baixo).
  • É necessário determinar os limites de integração adequados para D e então calcular a integral dupla sobre essa região.

Passo 2

Descrever a região D em termos de variáveis e escolher a ordem de integração.
Como y está entre 0 e 1-x^{2}, é natural escrever D como um tipo “vertical” (tipo I):
D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\;0\le y\le 1-x^{2}\}.
Para encontrar a e b precisamos da interseção das curvas y=0 e y=1-x^{2}, ou seja resolver 1-x^{2}=0. Isso dá
1-x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 1.
Logo x varia de -1 a 1. Portanto os limites são x\in[-1,1] e y\in[0,1-x^{2}].

Passo 3

Escrever a integral iterada correspondente e explicar a técnica.
Pelo raciocínio do passo anterior, podemos escrever
\iint_{D}(x+y)\,dA=\int_{x=-1}^{1}\left(\int_{y=0}^{1-x^{2}}(x+y)\,dy\right)dx.
Aqui usamos a ideia de integrar primeiro em y (tratando x como constante), depois integrar o resultado em x. Essa é a forma padrão de passar de uma integral dupla a uma integral iterada quando a região é dada por limites em y que dependem de x.

Passo 4

Calcular a integral interna em y. Explicar a integração de cada termo.
Vamos integrar (x+y) em relação a y, com x considerado constante:
\int_{y=0}^{1-x^{2}}(x+y)\,dy = \int_{0}^{1-x^{2}} x\,dy + \int_{0}^{1-x^{2}} y\,dy.
Integrando termo a termo:
  • \displaystyle \int_{0}^{1-x^{2}} x\,dy = x\cdot\bigl[y\bigr]_{0}^{1-x^{2}} = x(1-x^{2}), pois x é constante frente à integração em y.
  • \displaystyle \int_{0}^{1-x^{2}} y\,dy = \left[\tfrac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1-x^{2}} = \tfrac{(1-x^{2})^{2}}{2}.
Somando,
\int_{0}^{1-x^{2}}(x+y)\,dy = x(1-x^{2}) + \tfrac{(1-x^{2})^{2}}{2}.

Passo 5

Simplificar a expressão obtida para facilitar a integração em x.
Expandir e combinar termos:
x(1-x^{2}) = x - x^{3},
\tfrac{(1-x^{2})^{2}}{2} = \tfrac{1 - 2x^{2} + x^{4}}{2} = \tfrac{1}{2} - x^{2} + \tfrac{x^{4}}{2}.
Somando as duas partes:
x(1-x^{2}) + \tfrac{(1-x^{2})^{2}}{2} = \tfrac{1}{2} + x - x^{2} - x^{3} + \tfrac{x^{4}}{2}.
Portanto a integral dupla fica
\iint_{D}(x+y)\,dA = \int_{-1}^{1}\left(\tfrac{1}{2} + x - x^{2} - x^{3} + \tfrac{x^{4}}{2}\right)dx.

Passo 6

Usar simetria (paridade) para simplificar a integral em x.
Observe os termos da integranda:
  • \tfrac{1}{2}, -x^{2}, \tfrac{x^{4}}{2} são funções pares (isto é, f(-x)=f(x)).
  • x e -x^{3} são funções ímpares (isto é, g(-x)=-g(x)).
Em um intervalo simétrico [-1,1], a integral de uma função ímpar é zero. Então
\int_{-1}^{1} x\,dx = 0,\qquad \int_{-1}^{1} (-x^{3})\,dx = 0.
Ficam apenas os termos pares:
\iint_{D}(x+y)\,dA = \int_{-1}^{1}\left(\tfrac{1}{2} - x^{2} + \tfrac{x^{4}}{2}\right)dx.

Passo 7

Calcular a integral dos termos pares, passo a passo.
Calcular separadamente cada integral:
\int_{-1}^{1}\tfrac{1}{2}\,dx = \tfrac{1}{2}\bigl[x\bigr]_{-1}^{1} = \tfrac{1}{2}(1-(-1)) = \tfrac{1}{2}\cdot 2 = 1.
\int_{-1}^{1}(-x^{2})\,dx = -\left[\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = -\left(\tfrac{1^{3}}{3}-\tfrac{(-1)^{3}}{3}\right) = -\left(\tfrac{1}{3}-\left(-\tfrac{1}{3}\right)\right) = -\left(\tfrac{2}{3}\right) = -\tfrac{2}{3}.
\int_{-1}^{1}\tfrac{x^{4}}{2}\,dx = \tfrac{1}{2}\left[\tfrac{x^{5}}{5}\right]_{-1}^{1} = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1^{5}}{5}-\tfrac{(-1)^{5}}{5}\right) = \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{5}-\left(-\tfrac{1}{5}\right)\right) = \tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{5} = \tfrac{1}{5}.

Passo 8

Somar os resultados parciais e obter o valor final.
Somando as três contribuições:
1 + \left(-\tfrac{2}{3}\right) + \tfrac{1}{5} = 1 - \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{5}.
Colocando em denominador comum 15:
1 = \tfrac{15}{15},\quad -\tfrac{2}{3} = -\tfrac{10}{15},\quad \tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{15},
\tfrac{15}{15} - \tfrac{10}{15} + \tfrac{3}{15} = \tfrac{8}{15}.
Portanto
\iint_{D}(x+y)\,dA = \tfrac{8}{15}.

Resposta

\tfrac{8}{15}

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