Calcule as integrais duplas:
é limitada por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada por
e
.
Informações dadas e o que é pedido:
- A função a integrar é
. - A região
está entre as curvas (eixo ) e (parábola que abre para baixo). - É necessário determinar os limites de integração adequados para
e então calcular a integral dupla sobre essa região.
Passo 2
Descrever a região
em termos de variáveis e escolher a ordem de integração.
Como
está entre
e
, é natural escrever
como um tipo “vertical” (tipo I):
Para encontrar
e
precisamos da interseção das curvas
e
, ou seja resolver
. Isso dá
Logo
varia de
a
. Portanto os limites são
e
.
Passo 3
Escrever a integral iterada correspondente e explicar a técnica.
Pelo raciocínio do passo anterior, podemos escrever
Aqui usamos a ideia de integrar primeiro em
(tratando
como constante), depois integrar o resultado em
. Essa é a forma padrão de passar de uma integral dupla a uma integral iterada quando a região é dada por limites em
que dependem de
.
Passo 4
Calcular a integral interna em
. Explicar a integração de cada termo.
Vamos integrar
em relação a
, com
considerado constante:
Integrando termo a termo:
-
, pois é constante frente à integração em . -
Somando,
Passo 5
Simplificar a expressão obtida para facilitar a integração em
.
Expandir e combinar termos:
Somando as duas partes:
Portanto a integral dupla fica
Passo 6
Usar simetria (paridade) para simplificar a integral em
.
Observe os termos da integranda:
-
, , são funções pares (isto é, ). -
e são funções ímpares (isto é, ).
Em um intervalo simétrico
, a integral de uma função ímpar é zero. Então
Ficam apenas os termos pares:
Passo 7
Calcular a integral dos termos pares, passo a passo.
Calcular separadamente cada integral:
Passo 8
Somar os resultados parciais e obter o valor final.
Somando as três contribuições:
Colocando em denominador comum
:
Portanto