Calcule as integrais iteradas: \int_{-1}^{2} \int_{0}^{3} x y d x d y
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral iterada
\int_{-1}^{2} \int_{0}^{3} x\,y \, dx\, dy.
Informações dadas:
A integral interna é em relação a x, com limites x=0 a x=3.
A integral externa é em relação a y, com limites y=-1 a y=2.
A função a integrar é x\,y.
Passo 2
Quando fazemos a integral interna \int_{0}^{3} x\,y \, dx estamos integrando em relação a x. Isso significa que y é tratado como constante nesse passo. Uma regra básica de integrais é que constantes podem sair da integral:
\int_{0}^{3} x\,y \, dx = y \int_{0}^{3} x \, dx.
Exemplo rápido para fixar: \int_{0}^{3} 2x\,dx = 2\int_{0}^{3} x\,dx. Mesmo raciocínio aqui, com y no lugar de 2.
Passo 3
Agora calculamos \int_{0}^{3} x \, dx. A primitiva (antiderivada) de x é \dfrac{x^{2}}{2}, porque a derivada de \dfrac{x^{2}}{2} é x. Então, usando a regra da integral definida: