Calcule as integrais iteradas:
\int_{-1}^{2} \int_{0}^{3} x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral iterada
\int_{-1}^{2} \int_{0}^{3} x\,y \, dx\, dy.
Informações dadas:
  • A integral interna é em relação a x, com limites x=0 a x=3.
  • A integral externa é em relação a y, com limites y=-1 a y=2.
  • A função a integrar é x\,y.

Passo 2

Quando fazemos a integral interna \int_{0}^{3} x\,y \, dx estamos integrando em relação a x. Isso significa que y é tratado como constante nesse passo. Uma regra básica de integrais é que constantes podem sair da integral:
\int_{0}^{3} x\,y \, dx = y \int_{0}^{3} x \, dx.
Exemplo rápido para fixar: \int_{0}^{3} 2x\,dx = 2\int_{0}^{3} x\,dx. Mesmo raciocínio aqui, com y no lugar de 2.

Passo 3

Agora calculamos \int_{0}^{3} x \, dx. A primitiva (antiderivada) de x é \dfrac{x^{2}}{2}, porque a derivada de \dfrac{x^{2}}{2} é x. Então, usando a regra da integral definida:
\int_{0}^{3} x \, dx = \left.\dfrac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{3} = \dfrac{3^{2}}{2} - \dfrac{0^{2}}{2} = \dfrac{9}{2}.

Passo 4

Voltando à integral interna com o fator y:
\int_{0}^{3} x\,y \, dx = y \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{9}{2}\,y.
Ou seja, depois de integrar em x obtemos a função \dfrac{9}{2}\,y que depende só de y.

Passo 5

Agora integramos a expressão obtida em relação a y nos limites -1 a 2:
\int_{-1}^{2} \dfrac{9}{2}\,y \, dy.
A constante \dfrac{9}{2} pode sair da integral:
\int_{-1}^{2} \dfrac{9}{2}\,y \, dy = \dfrac{9}{2} \int_{-1}^{2} y \, dy.
A primitiva de y é \dfrac{y^{2}}{2}. Então
\int_{-1}^{2} y \, dy = \left.\dfrac{y^{2}}{2}\right|_{-1}^{2} = \dfrac{2^{2}}{2} - \dfrac{(-1)^{2}}{2} = \dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}.

Passo 6

Multiplicando a constante pelo resultado:
\dfrac{9}{2}\cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{27}{4}.

Resposta

\dfrac{27}{4}

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