Calcule as integrais iteradas:
\int_{0}^{1} \int_{-x}^{x^{2}}(1-x) d y d x

Passo 1

O enunciado fornece a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{-x}^{x^{2}}(1-x)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração interna é y com limites y=-x até y=x^{2}.
  • A variável de integração externa é x com limites x=0 até x=1.
  • A função integranda é 1-x.
O que é pedido: calcular o valor numérico da integral iterada acima.

Passo 2

Ideia do método: numa integral iterada \int_{a}^{b}\left(\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)\,dy\right)dx nós primeiro integramos em relação a y, tratando x como constante, e depois integramos o resultado em relação a x.
Fato útil (fórmula que vou usar): se c é constante em relação a y, então
\int_{y_1}^{y_2} c\,dy = c\cdot(y_2-y_1).
Aqui 1-x é constante quando integramos em y (porque depende só de x), então posso usar essa fórmula.

Passo 3

Calcular a integral interna em y. Usando a fórmula de cima com c=1-x, y_1=-x e y_2=x^2:
\int_{-x}^{x^{2}}(1-x)\,dy = (1-x)\bigl(x^{2}-(-x)\bigr).
Simplificando a diferença dos limites:
x^{2}-(-x)=x^{2}+x.
Portanto
\int_{-x}^{x^{2}}(1-x)\,dy = (1-x)(x^{2}+x).

Passo 4

Continuar simplificando a expressão obtida antes de integrar em x. Desenvolvendo:
(1-x)(x^{2}+x) = x^{2}+x - x^{3}-x^{2} = x - x^{3}.
Então a integral dupla fica
\int_{0}^{1}\bigl(x - x^{3}\bigr)\,dx.

Passo 5

Agora aplico a regra de potência para integrais indefinidas: para \alpha\neq -1,
\int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C.
Usando isso,
\int\bigl(x - x^{3}\bigr)\,dx = \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4} + C.
Agora avalio entre 0 e 1:
\left[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^{2}}{2} - \frac{1^{4}}{4}\right) - \left(0-0\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}.

Passo 6

Fazendo a subtração final:
\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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