Calcule as integrais duplas.
\iint_{R} \frac{x y^{2}}{x^{2}+4} d A, onde R=[0,1] \times[-3,5]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função
f(x,y) = \frac{x\,y^{2}}{x^{2}+4}
sobre o retângulo
R = [0,1]\times[-3,5].
O conteúdo aqui é aplicação do Teorema de Fubini e separação de variáveis, pois o domínio é um produto de intervalos e a função se separa em fatores de x e de y.

Passo 2

Pela Fubini,
\iint_{R}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+4}\,dA =\int_{0}^{1}\!\int_{-3}^{5}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+4}\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+4}\,dx\;\times\;\int_{-3}^{5}y^{2}\,dy.

Passo 3

Calcular o integral em y:
\int_{-3}^{5}y^{2}\,dy =\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{-3}^{5} =\frac{5^{3}}{3}-\frac{(-3)^{3}}{3} =\frac{125}{3}-\bigl(-\frac{27}{3}\bigr) =\frac{152}{3}.

Passo 4

Calcular o integral em x usando substituição u=x^{2}+4:
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+4}\,dx,
faça u=x^{2}+4\implies du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{du}{2}. Quando x=0, u=4; quando x=1, u=5. Temos
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+4}\,dx =\int_{u=4}^{5}\frac{1}{u}\,\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\int_{4}^{5}\frac{du}{u} =\frac{1}{2}\bigl[\ln u\bigr]_{4}^{5} =\frac{1}{2}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr).

Passo 5

Multiplicando os resultados das duas integrais, obtemos
\iint_{R}\frac{x\,y^{2}}{x^{2}+4}\,dA =\frac{1}{2}\ln\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr)\;\times\;\frac{152}{3} =\frac{152}{6}\,\ln\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr) =\frac{76}{3}\,\ln\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr).

Resposta

\frac{76}{3}\,\ln\!\bigl(\tfrac{5}{4}\bigr).

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