4^{\underline{a}} Questão ( 30 pontos):
Encontre a solução do problema de valor inicial (com Transformada de Laplace):
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=u_{1}(t)-u_{2}(t), \quad y(0)=0 \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via Transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y''+2y'+y = u_{1}(t)-u_{2}(t), \quad y(0)=0,\;y'(0)=0,
onde entendemos u_{1}(t)=u(t-1) e u_{2}(t)=u(t-2) como funções degrau unitário deslocadas. O conteúdo é equações diferenciais lineares de 2º ordem com forçamento em degrau, e vamos precisar da transformada de Laplace de derivadas e da propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicando Laplace em cada termo, usando Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}, y(0)=0, y'(0)=0 e
\mathcal L\{y''\}=s^2Y(s),\quad \mathcal L\{y'\}=sY(s),
temos
(s^2+2s+1)\,Y(s) =\mathcal L\{u(t-1)\}-\mathcal L\{u(t-2)\} =\frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-2s}}{s}.

Passo 3

Isolando Y(s) resulta em
Y(s) =\frac{e^{-s}}{s(s+1)^2} -\frac{e^{-2s}}{s(s+1)^2}.

Passo 4

Fazemos frações parciais em
\frac{1}{s(s+1)^2} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^2}.
Multiplicando por s(s+1)^2 e igualando coeficientes, achamos
A=1,\;B=-1,\;C=-1,
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\frac{1}{s(s+1)^2} =\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1}-\frac{1}{(s+1)^2}.

Passo 5

Invertendo termo a termo:
\mathcal L^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1, \quad \mathcal L^{-1}\{\tfrac{1}{s+1}\}=e^{-t}, \quad \mathcal L^{-1}\{\tfrac{1}{(s+1)^2}\}=t\,e^{-t}.
Definimos
v(t)=1-e^{-t}-t\,e^{-t},
de modo que, pelo teorema do deslocamento no tempo,
y(t)=v(t-1)\,u(t-1)\;-\;v(t-2)\,u(t-2).

Resposta

y(t) =\bigl(1-e^{-(t-1)}-(t-1)e^{-(t-1)}\bigr)\,u(t-1) -\bigl(1-e^{-(t-2)}-(t-2)e^{-(t-2)}\bigr)\,u(t-2).

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