Questão ( 30 pontos):
Encontre a solução do problema de valor inicial (com Transformada de Laplace):
Encontre a solução do problema de valor inicial (com Transformada de Laplace):
Passo 1
O enunciado pede para resolver, via Transformada de Laplace, o problema de valor inicial
onde entendemos
e
como funções degrau unitário deslocadas. O conteúdo é equações diferenciais lineares de 2º ordem com forçamento em degrau, e vamos precisar da transformada de Laplace de derivadas e da propriedade de deslocamento no tempo.
Passo 2
Aplicando Laplace em cada termo, usando
,
,
e
temos
Passo 3
Isolando
resulta em
Passo 4
Fazemos frações parciais em
Multiplicando por
e igualando coeficientes, achamos
logo
Passo 5
Invertendo termo a termo:
Definimos
de modo que, pelo teorema do deslocamento no tempo,