2^{\underline{a}} Questão ( 25 pontos):

Resolva o Problema de Valor Inicial:
2 y^{\prime}+y=3 t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem linear
2\,y'+y=3\,t,
denominada Problema de Valor Inicial, mas sem condição inicial explícita. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos em forma padrão y'+p(t)\,y=q(t). Dividindo por 2:
y'+\frac12\,y=\frac32\,t.
Daí identificamos
p(t)=\frac12, \quad q(t)=\frac32\,t.
O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt} =e^{\int\frac12\,dt} =e^{t/2}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t):
e^{t/2}y'+\frac12\,e^{t/2}y =\frac32\,t\,e^{t/2},
que reconhecemos como
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{t/2}\bigr) =\frac32\,t\,e^{t/2}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em t. Para a integral do lado direito, usamos integração por partes em \int t\,e^{t/2}dt. O resultado é
y\,e^{t/2} =3t\,e^{t/2}-6\,e^{t/2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y(t) e dividindo por e^{t/2}, obtemos a solução geral:
y(t)=3\,t-6+C\,e^{-t/2}.
Como não há condição inicial fornecida, a constante C permanece arbitrária.

Resposta

y(t)=3\,t-6+C\,e^{-t/2}.

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