I calcule at Integrais Duplas:
\iint_{B}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, sendo B o confunto
B=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} / x^{2}+y^{2} \leq 4 \text { ey } \geqslant 0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy,
onde o conjunto B é
B=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\leq 4\\ \text{e}\\ y\geq 0\right\}.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda é x^{2}+y^{2}.
  • A região B é o semicírculo fechado de raio 2 centrado na origem, apenas a metade superior (porque y\geq 0).
  • O objetivo é obter o valor numérico da integral dupla sobre essa região.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? Aqui é ótimo usar coordenadas polares porque:
  • A região B é circular (um semicírculo), então em polares os limites ficam simples.
  • A integranda x^{2}+y^{2} depende só da distância ao centro; em polares ela vira uma função simples de r.
    Vou então explicar como mudar para coordenadas polares e por que isso facilita.

Passo 3

O que são coordenadas polares e como fazer a mudança:
  • As coordenadas polares representam um ponto pelo par (r,\theta) com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • Ao trocar a variável de integração de (x,y) para (r,\theta) o elemento de área dx\,dy se transforma em
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicação curta do fator r: o Jacobiano da transformação é o determinante da matriz dos parciais
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix},
e seu determinante é
\det = r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Intuitivamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,dr\,d\theta (setor circular).]

Passo 4

Escrever a integranda em polares:
x^{2}+y^{2}=(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}.
Multiplicando pela medida de área dx\,dy=r\,dr\,d\theta, o integrando total fica r^{2}\cdot r = r^{3}.

Passo 5

Determinar os limites de integração para r e \theta usando a descrição da região B:
  • Como B é o semicírculo de raio 2 com y\ge 0, o raio varia de 0 a 2: 0\le r\le 2.
  • O ângulo \theta percorre a metade superior do plano, de 0 até \pi: 0\le\theta\le\pi.

Passo 6

Escrever a integral dupla em coordenadas polares com os limites:
\iint_{B}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy =\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2} r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2}=\frac{2^{4}}{4}=\frac{16}{4}=4.

Passo 8

Calcular a integral externa em \theta:
\int_{0}^{\pi} 4\,d\theta = 4\theta\Big|_{0}^{\pi}=4\pi.

Passo 9

Interpretação rápida e checagem: o integrando é não negativo e a região tem área \frac{1}{2}\pi(2)^{2}=2\pi. Como o integrando é r^{2} que na média sobre o disco superior dá um número compatível, o resultado 4\pi é coerente (apenas para sanity check).

Resposta

4\pi

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