A região B é o semicírculo fechado de raio 2 centrado na origem, apenas a metade superior (porque y\geq 0).
O objetivo é obter o valor numérico da integral dupla sobre essa região.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? Aqui é ótimo usar coordenadas polares porque:
A região B é circular (um semicírculo), então em polares os limites ficam simples.
A integranda x^{2}+y^{2} depende só da distância ao centro; em polares ela vira uma função simples de r.
Vou então explicar como mudar para coordenadas polares e por que isso facilita.
Passo 3
O que são coordenadas polares e como fazer a mudança:
As coordenadas polares representam um ponto pelo par (r,\theta) com
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
Ao trocar a variável de integração de (x,y) para (r,\theta) o elemento de área dx\,dy se transforma em
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicação curta do fator r: o Jacobiano da transformação é o determinante da matriz dos parciais
Interpretação rápida e checagem: o integrando é não negativo e a região tem área \frac{1}{2}\pi(2)^{2}=2\pi. Como o integrando é r^{2} que na média sobre o disco superior dá um número compatível, o resultado 4\pi é coerente (apenas para sanity check).