Calcule as integrais duplas iteradas abaixo: \int_{0}^{2} \int_{0}^{4}(3 x+4 y) d x d y
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4}(3x+4y)\,dx\,dy.
Informações dadas:
A integração interna é em x, com x variando de 0 a 4.
A integração externa é em y, com y variando de 0 a 2.
O objetivo é obter um valor numérico para essa integral dupla.
Passo 2
Ideia e ferramentas que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
Em uma integral iterada \int_{y=a}^{b}\left(\int_{x=c}^{d} f(x,y)\,dx\right)dy, primeiro calculamos a integral interna em relação a x, tratando y como constante.
Usamos a linearidade da integral: \int (A(x)+B(y))\,dx=\int A(x)\,dx+\int B(y)\,dx.
Regras básicas de antiderivadas (para integrar em x):
\displaystyle \int x\,dx=\frac{1}{2}x^{2}+C.
\displaystyle \int a\,dx = a x + C quando a é constante (ou depende apenas de y, nesse caso é constante em relação a x).
Após obter a antiderivada em x, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar entre os limites x=0 e x=4. O resultado será uma função de y.
Por fim, integramos essa função de y em y de 0 a 2.
Passo 3
Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{4}(3x+4y)\,dx.
Trata-se da soma de duas parcelas; como y é constante quando integramos em x, temos: