Calcule as integrais duplas iteradas abaixo:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{4}(3 x+4 y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{4}(3x+4y)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A integração interna é em x, com x variando de 0 a 4.
  • A integração externa é em y, com y variando de 0 a 2.
    O objetivo é obter um valor numérico para essa integral dupla.

Passo 2

Ideia e ferramentas que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Em uma integral iterada \int_{y=a}^{b}\left(\int_{x=c}^{d} f(x,y)\,dx\right)dy, primeiro calculamos a integral interna em relação a x, tratando y como constante.
  • Usamos a linearidade da integral: \int (A(x)+B(y))\,dx=\int A(x)\,dx+\int B(y)\,dx.
  • Regras básicas de antiderivadas (para integrar em x):
    • \displaystyle \int x\,dx=\frac{1}{2}x^{2}+C.
    • \displaystyle \int a\,dx = a x + C quando a é constante (ou depende apenas de y, nesse caso é constante em relação a x).
  • Após obter a antiderivada em x, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar entre os limites x=0 e x=4. O resultado será uma função de y.
  • Por fim, integramos essa função de y em y de 0 a 2.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{0}^{4}(3x+4y)\,dx.
Trata-se da soma de duas parcelas; como y é constante quando integramos em x, temos:
\int(3x+4y)\,dx=\int 3x\,dx + \int 4y\,dx.
Aplicando as fórmulas:
\int 3x\,dx = 3\cdot\frac{1}{2}x^{2}=\frac{3}{2}x^{2}, \qquad \int 4y\,dx = 4y\cdot x.
Portanto uma antiderivada é
\frac{3}{2}x^{2}+4yx.
Agora avaliamos entre x=0 e x=4:
\left(\frac{3}{2}x^{2}+4yx\right)\Big|_{0}^{4} = \left(\frac{3}{2}\cdot 4^{2}+4y\cdot 4\right)-\left(\frac{3}{2}\cdot 0^{2}+4y\cdot 0\right).
Calculando os termos (sem somar totalmente o resultado final ainda):
\frac{3}{2}\cdot 4^{2} = \frac{3}{2}\cdot 16 = 24, \qquad 4y\cdot 4 = 16y.
Logo a integral interna vale
24 + 16y.

Passo 4

Agora integramos a função obtida em y no intervalo 0 a 2:
\int_{0}^{2} (24+16y)\,dy.
Integramos termo a termo em y:
\int 24\,dy = 24y, \qquad \int 16y\,dy = 16\cdot\frac{1}{2}y^{2}=8y^{2}.
Uma antiderivada é 24y+8y^{2}. Avaliando entre y=0 e y=2 temos
(24y+8y^{2})\Big|_{0}^{2} = 24\cdot 2 + 8\cdot 2^{2} = 48 + 32.

Resposta

80

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