Calcule as derivadas das funções
dadas implicitament e por:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada
da função
definida implicitamente pela equação
Informações relevantes dadas:
- A relação entre
e é implícita pela equação acima. - Queremos a derivada de
em relação a , isto é (também denotada por ).
Passo 2
Vamos rever as regras de diferenciação que vamos usar (explicação didática e simples).
- Regra da cadeia: se
é uma função de , então e . Ou seja, derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna. - Regra do produto: se temos
, então . - Notação: como
depende de , sempre que derivarmos aparecerá .
Para aplicar a regra da cadeia com mais clareza, é comum definir a função interna
. Vamos usá-la.
Passo 3
Calculemos a derivada de
. Como
aplicamos a regra do produto:
Agora derivamos ambos os lados da equação implícita
em relação a
. Usamos regra da cadeia para os dois primeiros termos e produto para o terceiro:
Aplicando as fórmulas:
Lembrando que
e
, substituímos:
Passo 4
Expandimos os produtos e agrupamos os termos que contêm
e os que não contêm:
Primeiro expandindo:
Primeiro expandindo:
Agora colocamos todos os termos com
juntos e os restantes juntos:
Passo 5
Isolamos
. Passo a passo:
- Passamos o segundo grupo para o outro lado:
- Dividimos pelo coeficiente de
(assumindo ):
Passo 6
Simplificamos fatorando
no numerador e
no denominador para obter uma forma mais compacta e legível:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Assim
Podemos também multiplicar numerador e denominador por
para uma aparência alternativa (às vezes mais intuitiva):