Calcule as derivadas das funções y=f(x) dadas implicitament e por:
\operatorname{sen}(x y)-e^{x y}-x^{2} y=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da função y=f(x) definida implicitamente pela equação
\sin(xy)-e^{xy}-x^{2}y=0.
Informações relevantes dadas:
  • A relação entre x e y é implícita pela equação acima.
  • Queremos a derivada de y em relação a x, isto é \dfrac{dy}{dx} (também denotada por y').

Passo 2

Vamos rever as regras de diferenciação que vamos usar (explicação didática e simples).
  • Regra da cadeia: se u=u(x) é uma função de x, então \dfrac{d}{dx}\big(\sin(u)\big)=\cos(u)\,u' e \dfrac{d}{dx}\big(e^{u}\big)=e^{u}\,u'. Ou seja, derivar a função externa e multiplicar pela derivada da função interna.
  • Regra do produto: se temos u(x)\,v(x), então \dfrac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
  • Notação: como y depende de x, sempre que derivarmos y aparecerá y'=\dfrac{dy}{dx}.
Para aplicar a regra da cadeia com mais clareza, é comum definir a função interna u(x)=x y(x). Vamos usá-la.

Passo 3

Calculemos a derivada de u(x). Como u(x)=x\,y(x) aplicamos a regra do produto:
u'(x)=\dfrac{d}{dx}(x\,y)=1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.
Agora derivamos ambos os lados da equação implícita \sin(u)-e^{u}-x^{2}y=0 em relação a x. Usamos regra da cadeia para os dois primeiros termos e produto para o terceiro:
\dfrac{d}{dx}\big(\sin(u)\big)-\dfrac{d}{dx}\big(e^{u}\big)-\dfrac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=0.
Aplicando as fórmulas:
\cos(u)\,u' - e^{u}\,u' - \big(2x\,y + x^{2}y'\big)=0.
Lembrando que u'=y+x y' e u=xy, substituímos:
\cos(xy)\,(y+x y') - e^{xy}\,(y+x y') - \big(2x\,y + x^{2}y'\big)=0.

Passo 4

Expandimos os produtos e agrupamos os termos que contêm y' e os que não contêm:
Primeiro expandindo:
\cos(xy)\,y + \cos(xy)\,x y' - e^{xy}\,y - e^{xy}\,x y' - 2x\,y - x^{2}y' = 0.
Agora colocamos todos os termos com y' juntos e os restantes juntos:
\big(x\cos(xy) - x e^{xy} - x^{2}\big) y' \;+\; \big(y\cos(xy) - y e^{xy} - 2x y\big) = 0.

Passo 5

Isolamos y'. Passo a passo:
  1. Passamos o segundo grupo para o outro lado:
\big(x\cos(xy) - x e^{xy} - x^{2}\big) y' = -\big(y\cos(xy) - y e^{xy} - 2x y\big).
  1. Dividimos pelo coeficiente de y' (assumindo x\cos(xy) - x e^{xy} - x^{2}\neq 0):
y' = -\dfrac{y\cos(xy) - y e^{xy} - 2x y}{x\cos(xy) - x e^{xy} - x^{2}}.

Passo 6

Simplificamos fatorando y no numerador e x no denominador para obter uma forma mais compacta e legível:
  • Numerador: y\cos(xy) - y e^{xy} - 2x y = y\big(\cos(xy)-e^{xy}-2x\big).
  • Denominador: x\cos(xy) - x e^{xy} - x^{2} = x\big(\cos(xy)-e^{xy}-x\big).
Assim
y' = -\dfrac{y\big(\cos(xy)-e^{xy}-2x\big)}{x\big(\cos(xy)-e^{xy}-x\big)}.
Podemos também multiplicar numerador e denominador por -1 para uma aparência alternativa (às vezes mais intuitiva):
y' = \dfrac{y\big(e^{xy}-\cos(xy)+2x\big)}{x\big(e^{xy}-\cos(xy)+x\big)}.

Resposta

y'=-\dfrac{y\big(\cos(xy)-e^{xy}-2x\big)}{x\big(\cos(xy)-e^{xy}-x\big)}

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