Calcule as integrais duplas iteradas abaixo:
\int_{-1}^{2} \int_{1}^{3}(2 x-7 y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla iterada abaixo, com a ordem de integração dada (primeiro em y, depois em x):
\int_{-1}^{2} \int_{1}^{3}(2 x-7 y)\, d y\, d x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a ser integrada é f(x,y)=2x-7y.
  • Limites internos (para y): y vai de 1 até 3.
  • Limites externos (para x): x vai de -1 até 2.
  • A integral é iterada na ordem \int_{x=-1}^{2}\big(\int_{y=1}^{3}\cdots dy\big)dx.

Passo 2

Entendendo o procedimento: numa integral iterada \int_{a}^{b}\big(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\big)dx calcula-se primeiro a integral interna em relação a y, tratando x como constante, e depois integra-se o resultado em x. Vou aplicar isso aqui.
Propriedades úteis que vou usar (explicando rápido):
  • Linearidade: \int (A+B)\,dy=\int A\,dy+\int B\,dy e constantes podem sair da integral.
  • Regra básica de antiderivação em y: \int k\,dy = ky se k é constante em y; \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}.

Passo 3

Calcular a integral interna \displaystyle \int_{1}^{3}(2x-7y)\,dy.
Trate x como constante frente a y. Separando termos:
\int_{1}^{3}(2x-7y)\,dy = \int_{1}^{3}2x\,dy \;-\; \int_{1}^{3}7y\,dy.
Aplicando as regras:
  • \displaystyle \int_{1}^{3}2x\,dy = 2x\cdot (y)\Big|_{1}^{3} = 2x(3-1) = 4x.
  • \displaystyle \int_{1}^{3}7y\,dy = 7\cdot \frac{y^{2}}{2}\Big|_{1}^{3} = \frac{7}{2}(3^{2}-1^{2}) = \frac{7}{2}(9-1)=\frac{7}{2}\cdot 8 = 28.
Portanto a integral interna fica:
\int_{1}^{3}(2x-7y)\,dy = 4x - 28.

Passo 4

Agora integramos o resultado em x:
\int_{-1}^{2}(4x-28)\,dx.
Novamente uso linearidade e regras de antiderivação em x:
  • \displaystyle \int 4x\,dx = 4\cdot \frac{x^{2}}{2} = 2x^{2}.
  • \displaystyle \int 28\,dx = 28x.
Logo a primitiva é 2x^{2}-28x. Avaliando nos limites de -1 a 2:
\Big(2x^{2}-28x\Big)\Big|_{-1}^{2} = \big(2\cdot 2^{2}-28\cdot 2\big) - \big(2\cdot(-1)^{2}-28\cdot(-1)\big).

Passo 5

Calculemos os dois termos numericamente, com calma:
  • Para x=2: 2\cdot 2^{2}-28\cdot 2 = 2\cdot 4 - 56 = 8 - 56 = -48.
  • Para x=-1: 2\cdot (-1)^{2}-28\cdot(-1) = 2\cdot 1 + 28 = 2 + 28 = 30.
Subtraindo:
(-48) - (30) = -78.

Resposta

-78

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