Calcule as integrais duplas iteradas abaixo: \int_{-1}^{2} \int_{1}^{3}(2 x-7 y) d y d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla iterada abaixo, com a ordem de integração dada (primeiro em y, depois em x):
\int_{-1}^{2} \int_{1}^{3}(2 x-7 y)\, d y\, d x.
Informações relevantes fornecidas:
A função a ser integrada é f(x,y)=2x-7y.
Limites internos (para y): y vai de 1 até 3.
Limites externos (para x): x vai de -1 até 2.
A integral é iterada na ordem \int_{x=-1}^{2}\big(\int_{y=1}^{3}\cdots dy\big)dx.
Passo 2
Entendendo o procedimento: numa integral iterada \int_{a}^{b}\big(\int_{c}^{d} f(x,y)\,dy\big)dx calcula-se primeiro a integral interna em relação a y, tratando x como constante, e depois integra-se o resultado em x. Vou aplicar isso aqui.
Propriedades úteis que vou usar (explicando rápido):
Linearidade: \int (A+B)\,dy=\int A\,dy+\int B\,dy e constantes podem sair da integral.
Regra básica de antiderivação em y: \int k\,dy = ky se k é constante em y; \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}.
Passo 3
Calcular a integral interna \displaystyle \int_{1}^{3}(2x-7y)\,dy.
Trate x como constante frente a y. Separando termos: