Calcule as integrais duplas na região retangular R:
& integral duplaR(x sen y-y sen x) d A & R=(x, y): 0 <= x <= pi / 2,0 <= y <= pi / 3

Passo 1

Então, vamos lá! Temos que calcular uma integral dupla sobre uma região retangular . A função que vamos integrar é . A região está definida por e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais duplas, que nos permite calcular o volume sob uma superfície sobre uma região específica no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral dupla dada:
Isso significa que vamos integrar a função sobre a área definida por integral duplaR(x sen y - y sen x) , dA .

Passo 3

Como a região integral0^pi2 integral0^pi3 (x sen y - y sen x) , dy , dx é retangular e os limites de integração para e são constantes, podemos separar a integral dupla em duas integrais iteradas:

Passo 4

Vamos integrar em relação a integral0^pi3 (x sen y - y sen x) , dy = x integral0^pi3 sen y , dy - sen x integral0^pi3 y , dy primeiro. Isso significa tratar como uma constante durante essa integração:

Passo 5

Calculando cada uma dessas integrais separadamente:
integral0^pi3 sen y , dy = -cos y g|0^pi3 = -cos(pi3) + cos(0) = -(12) + 1 = 12

Passo 6

Substituindo esses resultados de volta na expressão original:

Passo 7

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral0^pi2 ( x2 - pi^218 sen x ) , dx = 12 integral0^pi2 x , dx - pi^218 integral0^pi2 sen x , dx de 0 a :

Passo 8

Calculando cada integral separadamente:
12 integral0^pi2 x , dx = 12 cdot x^22 g|0^pi2 = 14 ( (pi2)^2 - 0 ) = pi^216

Passo 9

Agora, juntando os resultados das integrais:
pi^216 - pi^218 = pi^2 ( 116 - 118 ) = pi^2 ( 9 - 8144 ) = pi^2 cdot 1144 = pi^2144

Resposta

A integral dupla é igual a .

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