Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(n) sumn=0^infty n^n(x+2)^n(2 n-5)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty n^n(x+2)^n(2n-5)^n
Isso envolve análise de séries, especificamente analisando quando essa série converge. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar o raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar o uso do Teste da Raiz. Observe que a série pode ser escrita como:
sumn=0^infty ( n2n-5 )^n (x + 2)^n
Aqui, identificamos que a série é da forma , onde .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Raiz, que diz que para a série 1R = limn to infty raiz[n]|an| , o raio de convergência 1R = limn to infty raiz[n]| n2n-5 |^n = limn to infty n2n-5 é dado por:
No nosso caso, . Então, vamos calcular:

Passo 4

Simplificando o limite:
limn to infty n2n-5 = limn to infty 12 - 5n = 12 - 0 = 12
Então:
1R = 12 implies R = 2

Passo 5

Com o raio de convergência -2 - R < x < -2 + R implies -4 < x < 0 e o centro , o intervalo de convergência é dado por:

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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