Use integração dupla para calcular o volume do sólido especificado abaixo:
O sólido no primeiro octante limitado acima pelo paraboloide z = x^2 + 3y^2, abaixo pelo plano z = 0 e lateralmente por y = x^2 e y = x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido no primeiro octante usando integração dupla. Esse sólido é limitado acima pelo paraboloide , abaixo pelo plano e, pelos lados, pelas curvas e . Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração no plano . Estamos no primeiro octante, então e . As curvas que definem os limites laterais são e . Precisamos encontrar onde essas duas curvas se intersectam para saber os limites de .
Resolvendo :
Então, as curvas se intersectam em e .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla para o volume. O volume pode ser calculado integrando a função sobre a região definida por e :
Aqui, varia de 0 a 1, e para cada , varia de a .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna com relação a :
Integrando termo a termo:
Então:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão com relação a :
Integrando termo a termo:
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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