Calcule as integrais duplas em suas regiões definidas:
\iint_{R}(x+y) d A, onde R é a região limitada por y=-x+1, y=x+1, y=3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} (x+y)\,dA
onde R é a região limitada pelas retas \;y=-x+1,\; y=x+1\; e pela reta horizontal \;y=3.
Informações dadas (listadas claramente):
  • A função a integrar é (x+y).
  • As curvas que limitam R são \;y=-x+1,\; y=x+1,\; y=3.
  • A região R é a parte do plano fechada por essas três retas (isto é, um triângulo).
    Nada mais é pedido além de calcular a integral dupla sobre R.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção das retas para identificar bem a região R.
  1. Interseção entre \;y=3\; e \;y=-x+1\;:
3 = -x + 1 \implies -x = 2 \implies x = -2,
logo o ponto é (-2,3).
  1. Interseção entre \;y=3\; e \;y=x+1\;:
3 = x + 1 \implies x = 2,
logo o ponto é (2,3).
  1. Interseção entre \;y=-x+1\; e \;y=x+1\;:
-x+1 = x+1 \implies -2x = 0 \implies x=0,
e então y = 0+1 = 1, ponto (0,1).
Portanto os vértices do triângulo R são (-2,3),\; (2,3),\; (0,1).

Passo 3

Descrição geométrica e escolha do tipo de fatia para integrar:
  • A região R é um triângulo com base horizontal em y=3 e vértice inferior em (0,1).
  • É conveniente integrar primeiro em x (fatias horizontais de comprimento variável) e depois em y, porque para cada y fixo entre 1 e 3 o intervalo em x é simples (vai de uma reta à outra).
Para um y fixo com 1 \le y \le 3, as retas escritas como x em função de y são:
y = -x+1 \implies x = 1 - y,
y = x+1 \implies x = y - 1.
Portanto, para esse y,
x \text{ varia de } x_{\text{esq}} = 1-y \text{ até } x_{\text{dir}} = y-1.é

Passo 4

Montagem da integral iterada correspondente:
\iint_{R} (x+y)\,dA \;=\; \int_{y=1}^{3} \left( \int_{x=\,1-y}^{\,y-1} (x+y)\,dx \right) dy.
Aqui o significado das variáveis:
  • y varia no intervalo [1,3].
  • Para cada y fixo, x varia entre 1-y (lado esquerdo) e y-1 (lado direito).
  • A função integrada é x+y, que depende explicitamente de x e de y.

Passo 5

Calcule a integral interna em x:
Antiderivada de x+y em relação a x (tratando y como constante) é
\int (x+y)\,dx = \frac{1}{2}x^{2} + yx + C.
Agora avalio entre x=1-y e x=y-1:
\left[\frac{1}{2}x^{2} + yx\right]_{x=1-y}^{x=y-1}.

Passo 6

Avaliação nos limites — passo a passo:
Para x = y-1:
\frac{1}{2}(y-1)^{2} + y(y-1) = \frac{1}{2}(y^{2}-2y+1) + y^{2}-y = \frac{1}{2}y^{2}-y+\frac{1}{2} + y^{2}-y = \frac{3}{2}y^{2} - 2y + \frac{1}{2}.
Para x = 1-y:
\frac{1}{2}(1-y)^{2} + y(1-y) = \frac{1}{2}(y^{2}-2y+1) + y - y^{2} = \frac{1}{2}y^{2} - y + \frac{1}{2} + y - y^{2} = -\frac{1}{2}y^{2} + \frac{1}{2}.
Subtraindo (valor em x=y-1 menos valor em x=1-y):
\left(\frac{3}{2}y^{2} - 2y + \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}y^{2} + \frac{1}{2}\right) = 2y^{2} - 2y.
Portanto a integral interna resulta em 2y^{2} - 2y.

Passo 7

Agora integramos em y:
\int_{1}^{3} (2y^{2} - 2y)\,dy = 2\int_{1}^{3} (y^{2} - y)\,dy.
Calcule a primitiva:
\int (y^{2} - y)\,dy = \frac{1}{3}y^{3} - \frac{1}{2}y^{2} + C.
Então
2\left[\frac{1}{3}y^{3} - \frac{1}{2}y^{2}\right]_{1}^{3}.

Passo 8

Avaliação numérica final — passo a passo:
Avalia em y=3:
\frac{1}{3}\cdot 3^{3} - \frac{1}{2}\cdot 3^{2} = \frac{27}{3} - \frac{9}{2} = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}.
Avalia em y=1:
\frac{1}{3}\cdot 1^{3} - \frac{1}{2}\cdot 1^{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}.
Diferença:
\frac{9}{2} - \left(-\frac{1}{6}\right) = \frac{9}{2} + \frac{1}{6} = \frac{27+1}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}.
Multiplicando por 2 (lembra do fator anterior):
2 \cdot \frac{14}{3} = \frac{28}{3}.
Portanto a integral dupla vale \dfrac{28}{3}.

Resposta

\dfrac{28}{3}

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