Calcule as integrais duplas em suas regiões definidas:
, onde
é a região limitada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região limitada pelas retas
e pela reta horizontal
Informações dadas (listadas claramente):
- A função a integrar é
. - As curvas que limitam
são - A região
é a parte do plano fechada por essas três retas (isto é, um triângulo).
Nada mais é pedido além de calcular a integral dupla sobre.
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção das retas para identificar bem a região
.
- Interseção entre
e :
logo o ponto é
.
- Interseção entre
e :
logo o ponto é
.
- Interseção entre
e :
e então
, ponto
.
Portanto os vértices do triângulo
são
.
Passo 3
Descrição geométrica e escolha do tipo de fatia para integrar:
- A região
é um triângulo com base horizontal em e vértice inferior em . - É conveniente integrar primeiro em
(fatias horizontais de comprimento variável) e depois em , porque para cada fixo entre e o intervalo em é simples (vai de uma reta à outra).
Para um
fixo com
, as retas escritas como
em função de
são:
Portanto, para esse
,
Passo 4
Montagem da integral iterada correspondente:
Aqui o significado das variáveis:
-
varia no intervalo . - Para cada
fixo, varia entre (lado esquerdo) e (lado direito). - A função integrada é
, que depende explicitamente de e de .
Passo 5
Calcule a integral interna em
:
Antiderivada de em relação a
(tratando
como constante) é
Antiderivada de
Agora avalio entre
e
:
Passo 6
Avaliação nos limites — passo a passo:
Para
:
Para
:
Subtraindo (valor em
menos valor em
):
Portanto a integral interna resulta em
.
Passo 7
Agora integramos em
:
Calcule a primitiva:
Então
Passo 8
Avaliação numérica final — passo a passo:
Avalia em
:
Avalia em
:
Diferença:
Multiplicando por
(lembra do fator anterior):
Portanto a integral dupla vale
.