Calcule as integrais duplas:
\iint_{D} x y d A, D=\left\{(x, y) \mid \quad 2 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 16\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x y \, dA,
onde a região D é dada por
D=\{(x,y)\mid 2 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 16\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a ser integrada é x y.
  • A região D é definida pela desigualdade 2 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 16.
  • Não há outras restrições (por exemplo, x ou y não estão limitados a um quadrante), logo D é um anel (região entre dois círculos concêntricos).

Passo 2

Interpretando a região D: a condição x^{2}+y^{2}=r^{2} em coordenadas polares identifica círculos centrados na origem. Da desigualdade
2 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 16
podemos escrever em termos de r:
2 \leqslant r^{2} \leqslant 16.
Tomando raízes não-negativas obtemos os limites para r:
\sqrt{2} \leqslant r \leqslant 4.
Como não há restrição angular, o ângulo \theta percorre todo o círculo:
0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi.
Resumo: D é o anel com r\in[\sqrt{2},4] e \theta\in[0,2\pi].

Passo 3

Motivo para usar coordenadas polares: a região D é descrita por x^{2}+y^{2} (círculos concêntricos), então coordenadas polares simplificam muito os limites e a integral. Em coordenadas polares usamos as transformações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo a partir do eixo x.

Passo 4

Elemento de área em polares (Jacobiano): ao fazer a mudança (x,y)\mapsto(r,\theta) o elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta. Uma forma curta de ver isso é calcular o determinante da matriz Jacobiana:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}= \begin{vmatrix} \displaystyle\frac{\partial x}{\partial r} & \displaystyle\frac{\partial x}{\partial \theta} \\[6pt] \displaystyle\frac{\partial y}{\partial r} & \displaystyle\frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[6pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}.
Calculando o determinante:
\cos\theta\cdot (r\cos\theta) - (-r\sin\theta)\cdot\sin\theta = r(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r.
Logo dA = r\,dr\,d\theta.]

Passo 5

Escrever o integrando em polares: substituindo x e y,
x y = (r\cos\theta)(r\sin\theta)=r^{2}\cos\theta\sin\theta.
Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos o integrando em r,\theta:
x y \, dA = r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot r\,dr\,d\theta = r^{3}\cos\theta\sin\theta\,dr\,d\theta.
Portanto a integral dupla fica
\iint_{D} x y \, dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{\sqrt{2}}^{4} r^{3}\cos\theta\sin\theta \, dr\, d\theta.

Passo 6

Separação das integrais (quando possível): a integranda é produto de uma função só de r e outra só de \theta:
r^{3}\cos\theta\sin\theta = \big(r^{3}\big)\big(\cos\theta\sin\theta\big).
Portanto podemos separar a integral em produto de uma integral radial e uma angular:
\int_{0}^{2\pi}\int_{\sqrt{2}}^{4} r^{3}\cos\theta\sin\theta \, dr\, d\theta = \left(\int_{\sqrt{2}}^{4} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right).

Passo 7

Cálculo da integral angular (esta é a chave): use a identidade trigonométrica
\cos\theta\sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin(2\theta).
Assim
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta.
Uma primitiva de \sin(2\theta) é -\tfrac{1}{2}\cos(2\theta), então
\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta = \Big[-\tfrac{1}{2}\cos(2\theta)\Big]_{0}^{2\pi} = -\tfrac{1}{2}\big(\cos(4\pi)-\cos(0)\big).
Como \cos(4\pi)=1 e \cos(0)=1, o resultado é
\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta = -\tfrac{1}{2}(1-1)=0.
Portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\cdot 0 = 0.
Observação intuitiva: a contribuição angular se cancela em torno do círculo (simetria), então a integral total será zero, independentemente da parte radial (desde que esta seja finita).

Passo 8

Cálculo da integral radial (para completar a demonstração, embora não seja necessária para o resultado final):
\int_{\sqrt{2}}^{4} r^{3}\,dr = \left[\tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{\sqrt{2}}^{4} = \tfrac{1}{4}\big(4^{4} - (\sqrt{2})^{4}\big) = \tfrac{1}{4}\big(256 - 4\big)=\tfrac{252}{4}=63.
Multiplicando a parte radial por zero da parte angular dá 63\cdot 0 = 0.

Passo 9

Conclusão: pela separação e pelo fato de a integral angular ser zero, a integral dupla sobre D vale zero.

Resposta

0

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