A região D é definida pela desigualdade 2 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 16.
Não há outras restrições (por exemplo, x ou y não estão limitados a um quadrante), logo D é um anel (região entre dois círculos concêntricos).
Passo 2
Interpretando a região D: a condição x^{2}+y^{2}=r^{2} em coordenadas polares identifica círculos centrados na origem. Da desigualdade
2 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 16
podemos escrever em termos de r:
2 \leqslant r^{2} \leqslant 16.
Tomando raízes não-negativas obtemos os limites para r:
\sqrt{2} \leqslant r \leqslant 4.
Como não há restrição angular, o ângulo \theta percorre todo o círculo:
0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi.
Resumo: D é o anel com r\in[\sqrt{2},4] e \theta\in[0,2\pi].
Passo 3
Motivo para usar coordenadas polares: a região D é descrita por x^{2}+y^{2} (círculos concêntricos), então coordenadas polares simplificam muito os limites e a integral. Em coordenadas polares usamos as transformações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo a partir do eixo x.
Passo 4
Elemento de área em polares (Jacobiano): ao fazer a mudança (x,y)\mapsto(r,\theta) o elemento de área dA transforma-se em r\,dr\,d\theta. Uma forma curta de ver isso é calcular o determinante da matriz Jacobiana:
Observação intuitiva: a contribuição angular se cancela em torno do círculo (simetria), então a integral total será zero, independentemente da parte radial (desde que esta seja finita).
Passo 8
Cálculo da integral radial (para completar a demonstração, embora não seja necessária para o resultado final):