Determine a derivada direcional das funções abaixo nos pontos dados, na direção do vetor
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e o vetor direção
. A tarefa é: calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.\n
Dados importantes:
Dados importantes:
Passo 2
O que é derivada direcional (de forma prática)? Para uma função de duas variáveis, a derivada direcional de
num ponto
na direção de um vetor unitário
é
Na prática de prova é muito mais rápido usar a fórmula com o gradiente:
onde
é o vetor gradiente e
é o produto escalar. Observação importante: essa fórmula exige que a direção seja um vetor unitário
. Se o vetor dado
não for unitário, primeiro normalizamos:
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Calculando as parciais uma a uma (explicando o que fiz): a derivada parcial em relação a
trata
como constante, então
e a derivada parcial em relação a
trata
como constante, então
(Resumo: para
a derivada em
é
; para
a derivada em
é
.)
Passo 4
Avalio o gradiente no ponto
. Substituo
e
nas parciais que achei:
Portanto
Passo 5
Agora preciso do vetor unitário
na direção de
. Primeiro a norma de
:
Logo o vetor unitário é
(Dica prática: sempre divida por
para normalizar.)
Passo 6
Aplico a fórmula da derivada direcional com o produto escalar:
Faço o produto escalar componente a componente:
Se quiser intuir o valor:
, ou seja, a função diminui nessa direção e com essa taxa no ponto.
Passo 7
Resumo do método (para a prova): 1) calcule as parciais para obter
; 2) normalize o vetor direção
obtendo
; 3) faça o produto escalar
. Isso evita limites e é rápido se você lembrar dos passos. Força aí — você já tem a resposta e o passo a passo!