Determine a derivada direcional das funções abaixo nos pontos dados, na direção do vetor
f(x, y)=x^{2}-3 y^{2},(1,2), v=2 i+j

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}-3y^{2}, o ponto (1,2) e o vetor direção \mathbf{v}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}. A tarefa é: calcular a derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção do vetor \mathbf{v}.\n
Dados importantes:
f(x,y)=x^{2}-3y^{2},
\text{ponto: }(1,2),
\text{vetor direção: }\mathbf{v}=2\mathbf{i}+\mathbf{j} \\ (\text{ou seja } \mathbf{v}=(2,1)).çã

Passo 2

O que é derivada direcional (de forma prática)? Para uma função de duas variáveis, a derivada direcional de f num ponto \mathbf{a} na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=\lim_{h\to0}\frac{f(\mathbf{a}+h\mathbf{u})-f(\mathbf{a})}{h}.
Na prática de prova é muito mais rápido usar a fórmula com o gradiente:
D_{\mathbf{u}}f(\mathbf{a})=\nabla f(\mathbf{a})\cdot \mathbf{u},
onde \nabla f é o vetor gradiente e \cdot é o produto escalar. Observação importante: essa fórmula exige que a direção seja um vetor unitário \mathbf{u}. Se o vetor dado \mathbf{v} não for unitário, primeiro normalizamos: \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de f. O gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Calculando as parciais uma a uma (explicando o que fiz): a derivada parcial em relação a x trata y como constante, então
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,
e a derivada parcial em relação a y trata x como constante, então
\frac{\partial f}{\partial y}=-6y.
(Resumo: para x^{2} a derivada em x é 2x; para -3y^{2} a derivada em y é -6y.)

Passo 4

Avalio o gradiente no ponto (1,2). Substituo x=1 e y=2 nas parciais que achei:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=2\cdot 1=2,
\frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=-6\cdot 2=-12.
Portanto
\boxed{\nabla f(1,2)=(2,\,-12).}

Passo 5

Agora preciso do vetor unitário \mathbf{u} na direção de \mathbf{v}=(2,1). Primeiro a norma de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.
Logo o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\;\frac{1}{\sqrt{5}}\right).
(Dica prática: sempre divida por \sqrt{2^{2}+1^{2}} para normalizar.)

Passo 6

Aplico a fórmula da derivada direcional com o produto escalar:
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot \mathbf{u}.
Faço o produto escalar componente a componente:
D_{\mathbf{u}}f(1,2)=2\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}+(-12)\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{4-12}{\sqrt{5}}=\frac{-8}{\sqrt{5}}.
Se quiser intuir o valor: \dfrac{-8}{\sqrt{5}}\approx -3,5777, ou seja, a função diminui nessa direção e com essa taxa no ponto.

Passo 7

Resumo do método (para a prova): 1) calcule as parciais para obter \nabla f; 2) normalize o vetor direção \mathbf{v} obtendo \mathbf{u}; 3) faça o produto escalar \nabla f(\mathbf{a})\cdot\mathbf{u}. Isso evita limites e é rápido se você lembrar dos passos. Força aí — você já tem a resposta e o passo a passo!

Resposta

-\dfrac{8}{\sqrt{5}}

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