Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
\iint_{D} \frac{y d x d y}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}}, onde D=[0,1] \times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{y\,dx\,dy}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}},
onde D=[0,1]\times[0,1].
Informações dadas:
  • A região de integração é o retângulo \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\\\ 0\le y\le1\}.
  • O integrando é \dfrac{y}{(1+x^{2}+y^{2})^{3/2}}.
O que precisa ser feito: calcular a integral dupla sobre D. A maneira prática é integrar primeiro em y (fixando x) e depois em x.

Passo 2

Vamos ver uma identidade útil: aplicar a regra da cadeia para a função g(y)=\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2}, tratando x como constante enquanto diferenciamos em relação a y.
Calculemos a derivada:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2} = -\tfrac{1}{2}\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)^{-3/2}\cdot 2y = -\frac{y}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}.
Portanto o integrando é
\frac{y}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}} = -\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2}.
Isto é ótimo porque permite usar o teorema fundamental do cálculo para integrar em y.

Passo 3

Integramos em y de 0 a 1 mantendo x fixo:
\int_{0}^{1}\frac{y}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\,dy = -\int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2}\,dy.
Pelo teorema fundamental do cálculo,
-\int_{0}^{1}\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2}\,dy = -\Bigl[\bigl(1+x^{2}+y^{2}\bigr)^{-1/2}\Bigr]_{y=0}^{y=1}.
Avaliar os extremos:
-\Bigl[\bigl(1+x^{2}+1\bigr)^{-1/2}-\bigl(1+x^{2}+0\bigr)^{-1/2}\Bigr] = \bigl(1+x^{2}\bigr)^{-1/2}-\bigl(2+x^{2}\bigr)^{-1/2}.

Passo 4

Assim a integral dupla passa a ser uma integral simples em x:
I=\iint_{D}\frac{y\,dx\,dy}{(1+x^{2}+y^{2})^{3/2}} =\int_{0}^{1}\Bigl[\bigl(1+x^{2}\bigr)^{-1/2}-\bigl(2+x^{2}\bigr)^{-1/2}\Bigr]\,dx.
Agora precisamos calcular as primitivas de x\mapsto (a+x^{2})^{-1/2} com a>0. Uma primitiva conhecida é
\frac{d}{dx}\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a}\bigr)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a}}.
(Verificação rápida: derivando o log e simplificando obtém-se exatamente 1/\sqrt{x^{2}+a}.)
Portanto
\int\frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a}}=\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+a}\bigr)+C.

Passo 5

Aplicando essa primitiva aos dois termos, obtemos:
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{1+x^{2}}} =\Bigl[\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr)\Bigr]_{0}^{1} =\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)-\ln(1)=\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr),
e
\int_{0}^{1}\frac{dx}{\sqrt{2+x^{2}}} =\Bigl[\ln\bigl(x+\sqrt{2+x^{2}}\bigr)\Bigr]_{0}^{1} =\ln\bigl(1+\sqrt{3}\bigr)-\ln\bigl(\sqrt{2}\bigr).

Passo 6

Substituindo desses resultados em I:
I=\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)-\bigl(\ln\bigl(1+\sqrt{3}\bigr)-\ln\bigl(\sqrt{2}\bigr)\bigr).
Simplificando os logs:
I=\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)-\ln\bigl(1+\sqrt{3}\bigr)+\ln\bigl(\sqrt{2}\bigr) =\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt{2}\,\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)}{1+\sqrt{3}}\Bigr).
Multiplicando \sqrt{2}(1+\sqrt{2}) obtém-se 2+\sqrt{2}, então uma forma compacta é
I=\ln\!\Bigl(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \ln\!\Bigl(\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{3}}\Bigr)

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