Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
, onde
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A região de integração é o retângulo
. - O integrando é
.
O que precisa ser feito: calcular a integral dupla sobre
. A maneira prática é integrar primeiro em
(fixando
) e depois em
.
Passo 2
Vamos ver uma identidade útil: aplicar a regra da cadeia para a função
, tratando
como constante enquanto diferenciamos em relação a
.
Calculemos a derivada:
Portanto o integrando é
Isto é ótimo porque permite usar o teorema fundamental do cálculo para integrar em
.
Passo 3
Integramos em
de
a
mantendo
fixo:
Pelo teorema fundamental do cálculo,
Avaliar os extremos:
Passo 4
Assim a integral dupla passa a ser uma integral simples em
:
Agora precisamos calcular as primitivas de
com
. Uma primitiva conhecida é
(Verificação rápida: derivando o log e simplificando obtém-se exatamente
.)
Portanto
Passo 5
Aplicando essa primitiva aos dois termos, obtemos:
e
Passo 6
Substituindo desses resultados em
:
Simplificando os logs:
Multiplicando
obtém-se
, então uma forma compacta é