Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
\iint_{D} \frac{d x d y}{(x+y+1)^{2}}, onde D=[0,1] \times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D}\frac{dx\,dy}{(x+y+1)^{2}},
onde D=[0,1]\times[0,1].
Informações dadas e objetivo claro:
  • A região de integração é o quadrado com 0\le x\le1 e 0\le y\le1.
  • A função integranda é f(x,y)=\dfrac{1}{(x+y+1)^{2}}.
  • O objetivo é obter o valor numérico (exato) da integral dupla sobre D.

Passo 2

Justificação para transformar em integral iterada e escolha da ordem: a função f(x,y)=\dfrac{1}{(x+y+1)^{2}} é contínua em todo o retângulo D (pois o denominador nunca zera ali). Pela teoria das integrais múltiplas (teorema de Fubini), pode-se calcular a integral dupla como uma integral iterada e trocar a ordem de integração se for conveniente. Aqui é simples integrar primeiro em x e depois em y. Logo escrevemos
\iint_{D}\frac{dx\,dy}{(x+y+1)^{2}}=\int_{y=0}^{1}\left(\int_{x=0}^{1}\frac{dx}{(x+y+1)^{2}}\right)dy.

Passo 3

Calcular a integral interna em x:
\int_{x=0}^{1}\frac{dx}{(x+y+1)^{2}}.
Para integrar \dfrac{1}{(x+a)^{2}} em x (com a constante), lembra que uma primitiva é -\dfrac{1}{x+a}. Isso pode ser verificado derivando: \dfrac{d}{dx}\!\left(-\dfrac{1}{x+a}\right)=\dfrac{1}{(x+a)^{2}}. Aqui a=y+1. Assim
\int_{x=0}^{1}\frac{dx}{(x+y+1)^{2}}=\left[-\frac{1}{x+y+1}\right]_{x=0}^{x=1}.
Avaliaremos os limites:
\left[-\frac{1}{x+y+1}\right]_{0}^{1}=-\frac{1}{1+y+1}+\frac{1}{0+y+1}=-\frac{1}{y+2}+\frac{1}{y+1}.

Passo 4

Simplificar a expressão obtida como função de y:
-\frac{1}{y+2}+\frac{1}{y+1}=\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+2}.
Colocando sobre denominador comum:
\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+2}=\frac{(y+2)-(y+1)}{(y+1)(y+2)}=\frac{1}{(y+1)(y+2)}.
Portanto a integral dupla virou a integral simples
\iint_{D}\frac{dx\,dy}{(x+y+1)^{2}}=\int_{0}^{1}\frac{dy}{(y+1)(y+2)}.

Passo 5

Para calcular \displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{dy}{(y+1)(y+2)} usamos frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(y+1)(y+2)}=\frac{A}{y+1}+\frac{B}{y+2}.
Multiplicando ambos os lados por (y+1)(y+2) obtemos
1=A(y+2)+B(y+1)=(A+B)y+(2A+B).
Comparando coeficientes para as potências de y:
  • Coeficiente de y: A+B=0.
  • Termo constante: 2A+B=1.
Resolvendo o sistema: de A+B=0 vem B=-A. Substituindo em 2A+B=1 2A-A=1\Rightarrow A=1. Então B=-1. Logo
\frac{1}{(y+1)(y+2)}=\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+2}.

Passo 6

Integrar a decomposição:
\int_{0}^{1}\frac{dy}{(y+1)(y+2)}=\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+2}\right)dy.
As primitivas são logaritmos naturais:
\int\frac{1}{y+1}dy=\ln(y+1),\qquad \int\frac{1}{y+2}dy=\ln(y+2).
Portanto
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{y+1}-\frac{1}{y+2}\right)dy=\left[\ln(y+1)-\ln(y+2)\right]_{0}^{1}.
Avaliaremos nos extremos:
\left[\ln(y+1)-\ln(y+2)\right]_{0}^{1}=\big(\ln 2-\ln 3\big)-\big(\ln 1-\ln 2\big).
Como \ln 1=0, isto é
\ln 2-\ln 3-0+\ln 2=2\ln 2-\ln 3.

Passo 7

Simplificar a expressão final em uma única função logarítmica:
2\ln 2-\ln 3=\ln(2^{2})-\ln 3=\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).
Portanto o valor exato da integral dupla é \displaystyle\ln\!\left(\frac{4}{3}\right). Boa! Dá para checar rapidamente que o valor é positivo (pois \tfrac{4}{3}>1), o que faz sentido já que integrando uma função positiva sobre área positiva resulta em número positivo.

Resposta

\displaystyle \ln\!\left(\frac{4}{3}\right)

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