Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
, onde
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
onde
.
Informações dadas e objetivo claro:
Informações dadas e objetivo claro:
- A região de integração é o quadrado com
e . - A função integranda é
. - O objetivo é obter o valor numérico (exato) da integral dupla sobre
.
Passo 2
Justificação para transformar em integral iterada e escolha da ordem: a função
é contínua em todo o retângulo
(pois o denominador nunca zera ali). Pela teoria das integrais múltiplas (teorema de Fubini), pode-se calcular a integral dupla como uma integral iterada e trocar a ordem de integração se for conveniente. Aqui é simples integrar primeiro em
e depois em
. Logo escrevemos
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Para integrar
em
(com
constante), lembra que uma primitiva é
. Isso pode ser verificado derivando:
. Aqui
. Assim
Avaliaremos os limites:
Passo 4
Simplificar a expressão obtida como função de
:
Colocando sobre denominador comum:
Portanto a integral dupla virou a integral simples
Passo 5
Para calcular
usamos frações parciais. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Comparando coeficientes para as potências de
:
- Coeficiente de
: . - Termo constante:
.
Resolvendo o sistema: de
vem
. Substituindo em
dá
. Então
. Logo
Passo 6
Integrar a decomposição:
As primitivas são logaritmos naturais:
Portanto
Avaliaremos nos extremos:
Como
, isto é
Passo 7
Simplificar a expressão final em uma única função logarítmica:
Portanto o valor exato da integral dupla é
. Boa! Dá para checar rapidamente que o valor é positivo (pois
), o que faz sentido já que integrando uma função positiva sobre área positiva resulta em número positivo.