Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
\iint_{D} x \operatorname{sen}(x+y) d x d y, onde D=[0, \pi] \times[0, \pi / 2];

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} x\,\operatorname{sen}(x+y)\,dx\,dy,
onde D=[0,\pi]\times[0,\tfrac{\pi}{2}]. Informações dadas:
  • A região D é o retângulo com x variando de 0 a \pi e y variando de 0 a \tfrac{\pi}{2}.
  • A função a integrar é f(x,y)=x\,\operatorname{sen}(x+y), definida em todo o retângulo.
  • A tarefa é encontrar o valor numérico da integral dupla sobre D.

Passo 2

Motivação do método (sem resolver ainda): como D é um retângulo e f(x,y)=x\,\operatorname{sen}(x+y) é contínua em D, pode-se usar integração iterada (teorema de Fubini). Há duas ordens possíveis:
\iint_{D} x\,\operatorname{sen}(x+y)\,dx\,dy=\int_{0}^{\pi}\left(\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} x\,\operatorname{sen}(x+y)\,dy\right)dx
ou
\iint_{D} x\,\operatorname{sen}(x+y)\,dx\,dy=\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\left(\int_{0}^{\pi} x\,\operatorname{sen}(x+y)\,dx\right)dy.
Escolhe-se a primeira ordem (integrar em y primeiro) porque, ao integrar em y mantendo x fixo, a integral interna é direta e não requer partes; isso simplifica bastante os cálculos.

Passo 3

Calcular a integral interna em y (tratando x como constante). Para x fixo,
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} x\,\operatorname{sen}(x+y)\,dy = x\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \operatorname{sen}(x+y)\,dy.
Aqui foi usado que x é constante em relação a y, então pode ser tirado da integral. A primitiva de \operatorname{sen}(x+y) em relação a y é -\cos(x+y), pois a derivada de \cos(x+y) em relação a y é -\operatorname{sen}(x+y). Assim:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \operatorname{sen}(x+y)\,dy = \Big[-\cos(x+y)\Big]_{y=0}^{y=\tfrac{\pi}{2}} = -\cos\!\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big) + \cos(x).

Passo 4

Simplificar a expressão trigonométrica obtida. Usar a identidade \cos\!\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big) = -\operatorname{sen}x. Então
-\cos\!\big(x+\tfrac{\pi}{2}\big) + \cos(x) = -\big(-\operatorname{sen}x\big) + \cos x = \operatorname{sen}x + \cos x.
Portanto a integral interna ficou
x\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \operatorname{sen}(x+y)\,dy = x\big(\operatorname{sen}x + \cos x\big).

Passo 5

Agora escrever a integral dupla como integral única em x:
\iint_{D} x\,\operatorname{sen}(x+y)\,dx\,dy = \int_{0}^{\pi} x\big(\operatorname{sen}x + \cos x\big)\,dx.
Separar em duas integrais:
\int_{0}^{\pi} x\operatorname{sen}x\,dx + \int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx.
Cada uma será calculada por partes usando a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\operatorname{sen}x\,dx por partes. Escolher u=x e dv=\operatorname{sen}x\,dx. Então du=dx e v=-\cos x. Aplicando:
\int_{0}^{\pi} x\operatorname{sen}x\,dx = \Big[-x\cos x\Big]_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos x\,dx.
Avaliar termos:
\Big[-x\cos x\Big]_{0}^{\pi} = -\pi\cos\pi -\big(-0\cos0\big) = -\pi(-1) - 0 = \pi,
e
\int_{0}^{\pi} \cos x\,dx = \big[\operatorname{sen}x\big]_{0}^{\pi} = \operatorname{sen}\pi - \operatorname{sen}0 = 0.
Logo
\int_{0}^{\pi} x\operatorname{sen}x\,dx = \pi.

Passo 7

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx por partes. Escolher u=x e dv=\cos x\,dx. Então du=dx e v=\operatorname{sen}x. Aplicando:
\int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx = \Big[x\operatorname{sen}x\Big]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}x\,dx.
Avaliar termos:
\Big[x\operatorname{sen}x\Big]_{0}^{\pi} = \pi\operatorname{sen}\pi - 0 = 0,
e
\int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}x\,dx = \big[-\cos x\big]_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos0 = -(-1) + 1 = 2.
Portanto
\int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx = 0 - 2 = -2.

Passo 8

Somar os resultados das duas integrais:
\iint_{D} x\,\operatorname{sen}(x+y)\,dx\,dy = \pi + (-2) = \pi - 2.

Resposta

\pi - 2

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