Calcule as integrais duplas em retângulos indicadas abaixo:
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
. Informações dadas:
- A região
é o retângulo com variando de a e variando de a . - A função a integrar é
, definida em todo o retângulo. - A tarefa é encontrar o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Motivação do método (sem resolver ainda): como
é um retângulo e
é contínua em
, pode-se usar integração iterada (teorema de Fubini). Há duas ordens possíveis:
ou
Escolhe-se a primeira ordem (integrar em
primeiro) porque, ao integrar em
mantendo
fixo, a integral interna é direta e não requer partes; isso simplifica bastante os cálculos.
Passo 3
Calcular a integral interna em
(tratando
como constante). Para
fixo,
Aqui foi usado que
é constante em relação a
, então pode ser tirado da integral. A primitiva de
em relação a
é
, pois a derivada de
em relação a
é
. Assim:
Passo 4
Simplificar a expressão trigonométrica obtida. Usar a identidade
. Então
Portanto a integral interna ficou
Passo 5
Agora escrever a integral dupla como integral única em
:
Separar em duas integrais:
Cada uma será calculada por partes usando a fórmula
Passo 6
Calcular
por partes. Escolher
e
. Então
e
. Aplicando:
Avaliar termos:
e
Logo
Passo 7
Calcular
por partes. Escolher
e
. Então
e
. Aplicando:
Avaliar termos:
e
Portanto
Passo 8
Somar os resultados das duas integrais: