Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.
∫ 3 dx/√1+9x²

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{3\,dx}{\sqrt{1+9x^{2}}}.
Informações relevantes: é uma integral indefinida (procura-se primitiva) e o integrando é \dfrac{3}{\sqrt{1+9x^{2}}}. Não há limites de integração nem outras condições.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando de modo a reconhecer uma forma padrão. Observe que 9x^{2}=(3x)^{2}, então
\int \frac{3\,dx}{\sqrt{1+9x^{2}}}=\int \frac{3\,dx}{\sqrt{1+(3x)^{2}}}.
Uma substituição natural aqui é definir u=3x. Isso é útil porque a integral padrão
\int \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}
é conhecida. Agora aplicamos a substituição.

Passo 3

Com u=3x temos du=3\,dx, portanto 3\,dx = du. Substituindo na integral obtemos
\int \frac{3\,dx}{\sqrt{1+(3x)^{2}}}=\int \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}.
A integral ficou na forma simples \int \dfrac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}.

Passo 4

Agora usamos a primitiva padrão. A função cuja derivada é \dfrac{1}{\sqrt{1+u^{2}}} é a função arco‑seno hiperbólico (também chamada de \operatorname{arsinh} ou \operatorname{arcsinh}). Em fórmula:
\frac{d}{du}\big(\operatorname{arsinh}(u)\big)=\frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}.
Explicando rápido por que: se y=\operatorname{arsinh}(u) então u=\operatorname{sinh}(y) e \dfrac{du}{dy}=\operatorname{cosh}(y)=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}(y)}=\sqrt{1+u^{2}}; invertendo obtemos a derivada acima. Assim
\int \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}=\operatorname{arsinh}(u)+C.

Passo 5

Volta para a variável original x substituindo u=3x:
\operatorname{arsinh}(u)+C=\operatorname{arsinh}(3x)+C.
Como forma equivalente e muito usada, podemos escrever \operatorname{arsinh} em termos de logaritmo:
\operatorname{arsinh}(t)=\ln\!\big(t+\sqrt{1+t^{2}}\big),
portanto outra escrita equivalente da primitiva é
\ln\!\big(3x+\sqrt{1+9x^{2}}\big)+C.

Passo 6

Cheque rápido por diferenciação (verificação): usando regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arsinh}(3x)\big)=\frac{1}{\sqrt{1+(3x)^{2}}}\cdot 3=\frac{3}{\sqrt{1+9x^{2}}},
que é exatamente o integrando. Está correto.

Resposta

\operatorname{arsinh}(3x)+C
ou equivalentemente
\ln\big(3x+\sqrt{1+9x^{2}}\big)+C

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