Calcule as integrais nos Exercícios 1-14.
∫ 3 dx/√1+9x²
∫ 3 dx/√1+9x²
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes: é uma integral indefinida (procura-se primitiva) e o integrando é
. Não há limites de integração nem outras condições.
Passo 2
Vamos reescrever o integrando de modo a reconhecer uma forma padrão. Observe que
, então
Uma substituição natural aqui é definir
. Isso é útil porque a integral padrão
é conhecida. Agora aplicamos a substituição.
Passo 3
Com
temos
, portanto
. Substituindo na integral obtemos
A integral ficou na forma simples
.
Passo 4
Agora usamos a primitiva padrão. A função cuja derivada é
é a função arco‑seno hiperbólico (também chamada de
ou
). Em fórmula:
Explicando rápido por que: se
então
e
; invertendo obtemos a derivada acima. Assim
Passo 5
Volta para a variável original
substituindo
:
Como forma equivalente e muito usada, podemos escrever
em termos de logaritmo:
portanto outra escrita equivalente da primitiva é
Passo 6
Cheque rápido por diferenciação (verificação): usando regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Está correto.
Resposta
ou equivalentemente