Estude os máximos e mínimo valores para a função
V(\varphi)=\frac{2}{1+r}(r+\cos (\varphi))^{2}
onde r é um número real.

Passo 1

O enunciado pede: estudar os valores máximos e mínimos da função
V(\varphi)=\frac{2}{1+r}\bigl(r+\cos(\varphi)\bigr)^{2}
onde r é um número real. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Dado: a expressão de V(\varphi) em função de \varphi e do parâmetro real r.
  • Precisamos: determinar, para cada r (ou intervalo de r), os valores mínimos e máximos possíveis de V(\varphi) quando \varphi varia em \mathbb{R}, e onde esses extremos ocorrem em \varphi.
  • Observação importante: a expressão usa o fator \frac{2}{1+r}, então devemos observar o caso \;1+r=0\; (ou seja, r=-1) separadamente.

Passo 2

Primeira análise estrutural (ideia que vai simplificar tudo): note que \cos(\varphi) varia entre -1 e 1. Vamos fazer a substituição simples
u=\cos(\varphi),
então u\in[-1,1] e
V(\varphi)=\frac{2}{1+r}(r+u)^{2}.
Isso transforma o problema de estudar V em estudar a função de uma variável real f(u)=(r+u)^{2} no intervalo u\in[-1,1], com o fator multiplicativo \frac{2}{1+r}. Sempre que eu usar u significa que estou usando \cos(\varphi).

Passo 3

Antes de procurar extremos, trataremos o caso singular:
  • Se r=-1 então o denominador 1+r é zero e V(\varphi) não está definida (divisão por zero). Portanto r=-1 é excluído: não há função bem definida para estudar nesse caso.

Passo 4

Agora encontramos os extremos de (r+u)^{2} em u\in[-1,1]. Como (r+u)^{2}\ge 0 sempre, os candidatos a extremos aparecem:
  • quando a derivada em u é zero: \dfrac{d}{du}(r+u)^{2}=2(r+u)=0 u=-r, ou
  • nas bordas do intervalo: u=-1 e u=1.
    Interpretando em termos de \varphi:
  • u=-r corresponde a \cos(\varphi)=-r, o que só dá solução real se |r|\le 1.
  • u=1 corresponde a \cos(\varphi)=1 \varphi=2k\pi.
  • u=-1 corresponde a \cos(\varphi)=-1 \varphi=(2k+1)\pi.
    Também podemos obter os mesmos pontos derivando V em \varphi: V'(\varphi)=\frac{4}{1+r}(r+\cos\varphi)(-\sin\varphi), que se anula para \sin\varphi=0 (bordas u=\pm1) ou r+\cos\varphi=0 (caso |r|\le1).

Passo 5

Agora vamos comparar os valores de (r+u)^{2} nos pontos críticos:
  • Em u=-r (quando existe): (r+u)^{2}=(r-r)^{2}=0.
  • Em u=1: (r+1)^{2}.
  • Em u=-1: (r-1)^{2}.
Lembre-se: o valor real de V é \dfrac{2}{1+r} vezes esses quadrados. Como \dfrac{2}{1+r} pode ser positivo ou negativo dependendo de r, a ordem entre máximo e mínimo de V pode inverter se 1+r<0. Por isso vamos estudar separadamente os casos r>-1 (fator positivo) e r<-1 (fator negativo). O caso r=-1 já foi excluído.

Passo 6

Caso r>-1 (fator \dfrac{2}{1+r}>0): os extremos de V são obtidos nos mesmos pontos que minimizam/maximizam (r+u)^{2}.
  • Subcaso A: se |r|\le 1 (isto é, -1<r\le 1):
    • Em u=-r temos (r+u)^{2}=0, portanto \text{mínimo: } V_{\min}=0,íatingido quando \cos(\varphi)=-r (ou seja \varphi=\operatorname{arccos}(-r)+2k\pi ou simetricamente \varphi=-\operatorname{arccos}(-r)+2k\pi).
    • O máximo ocorre em uma das bordas u=\pm1. Comparamos (r+1)^{2} e (r-1)^{2}. A diferença é (r+1)^{2}-(r-1)^{2}=4r.Assim:
      • Se r>0, então (r+1)^{2}>(r-1)^{2} e o máximo é em u=1: V_{\max}=\frac{2}{1+r}(r+1)^{2},\quad\text{em }\varphi=2k\pi.
      • Se r<0, então (r-1)^{2}>(r+1)^{2} e o máximo é em u=-1: V_{\max}=\frac{2}{1+r}(r-1)^{2},\quad\text{em }\varphi=(2k+1)\pi.
      • Se r=0, as duas bordas dão o mesmo valor V_{\max}=2.
  • Subcaso B: se r>1 (aqui |r|>1 e r>-1 também):
    • Não existe u=-r no intervalo, então os extremos estão nas bordas: V_{\min}=\frac{2}{1+r}(r-1)^{2}\quad\text{em }\varphi=(2k+1)\pi,
V_{\max}=\frac{2}{1+r}(r+1)^{2}\quad\text{em }\varphi=2k\pi.
(a ordem é essa porque o fator é positivo e (r+1)^{2}>(r-1)^{2} quando r>1.)

Passo 7

Caso r<-1 (fator \dfrac{2}{1+r}<0): multiplicar por número negativo inverte máximos e mínimos relativos de (r+u)^{2}.
  • Não existe solução \cos\varphi=-r porque |r|>1.
  • Nos extremos u=\pm1 temos os quadrados (r+1)^{2} e (r-1)^{2}. Para r<-1 vale (r+1)^{2}>(r-1)^{2}(verificando a diferença 4r<0 indica que (r+1)^{2} é o maior). Mas como o fator \dfrac{2}{1+r} é negativo:
    • O valor mais negativo (mínimo de V) corresponde ao maior quadrado (r+1)^{2}, ou seja V_{\min}=\frac{2}{1+r}(r+1)^{2}\quad\text{em }\varphi=2k\pi.
    • O valor menos negativo (máximo de V) corresponde ao menor quadrado (r-1)^{2}, ou seja V_{\max}=\frac{2}{1+r}(r-1)^{2}\quad\text{em }\varphi=(2k+1)\pi.
Observe que ambos são negativos porque multiplicamos um quadrado positivo por um fator negativo.

Passo 8

Resumo das posições das soluções em termos de \varphi:
  • \cos(\varphi)=1 \Rightarrow \varphi=2k\pi (para k\in\mathbb{Z}).
  • \cos(\varphi)=-1 \Rightarrow \varphi=(2k+1)\pi.
  • \cos(\varphi)=-r (quando |r|\le1) ⇒ \varphi=\operatorname{arccos}(-r)+2k\pi ou \varphi=-\operatorname{arccos}(-r)+2k\pi.

Resposta

Para r=-1: função não definida (denominador zero).
Para r>-1 e -1<r\le 1:
V_{\min}=0,\\ \text{atingido em }\cos(\varphi)=-r.
Se r>0:
V_{\max}=\frac{2}{1+r}(r+1)^{2},\\ \text{atingido em }\varphi=2k\pi.
Se r<0:
V_{\max}=\frac{2}{1+r}(r-1)^{2},\\ \text{atingido em }\varphi=(2k+1)\pi.
Se r=0:
V_{\max}=2,\\ \text{atingido em }\varphi=2k\pi\text{ ou }\varphi=(2k+1)\pi.
Para r>1:
V_{\min}=\frac{2}{1+r}(r-1)^{2}\\ \text{em }\varphi=(2k+1)\pi,
V_{\max}=\frac{2}{1+r}(r+1)^{2}\\ \text{em }\varphi=2k\pi.
Para r<-1:
V_{\min}=\frac{2}{1+r}(r+1)^{2}\\ \text{em }\varphi=2k\pi,
V_{\max}=\frac{2}{1+r}(r-1)^{2}\\ \text{em }\varphi=(2k+1)\pi.

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