Estude os máximos e mínimo valores para a função
onde r é um número real.
Passo 1
O enunciado pede: estudar os valores máximos e mínimos da função
onde
é um número real. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Dado: a expressão de
em função de e do parâmetro real . - Precisamos: determinar, para cada
(ou intervalo de ), os valores mínimos e máximos possíveis de quando varia em , e onde esses extremos ocorrem em . - Observação importante: a expressão usa o fator
, então devemos observar o caso (ou seja, ) separadamente.
Passo 2
Primeira análise estrutural (ideia que vai simplificar tudo): note que
varia entre
e
. Vamos fazer a substituição simples
então
e
Isso transforma o problema de estudar
em estudar a função de uma variável real
no intervalo
, com o fator multiplicativo
. Sempre que eu usar
significa que estou usando
.
Passo 3
Antes de procurar extremos, trataremos o caso singular:
- Se
então o denominador é zero e não está definida (divisão por zero). Portanto é excluído: não há função bem definida para estudar nesse caso.
Passo 4
Agora encontramos os extremos de
em
. Como
sempre, os candidatos a extremos aparecem:
- quando a derivada em
é zero: ⇒ , ou - nas bordas do intervalo:
e .
Interpretando em termos de: -
corresponde a , o que só dá solução real se . -
corresponde a ⇒ . -
corresponde a ⇒ .
Também podemos obter os mesmos pontos derivandoem : , que se anula para (bordas ) ou (caso ).
Passo 5
Agora vamos comparar os valores de
nos pontos críticos:
- Em
(quando existe): . - Em
: . - Em
: .
Lembre-se: o valor real de
é
vezes esses quadrados. Como
pode ser positivo ou negativo dependendo de
, a ordem entre máximo e mínimo de
pode inverter se
. Por isso vamos estudar separadamente os casos
(fator positivo) e
(fator negativo). O caso
já foi excluído.
Passo 6
Caso
(fator
): os extremos de
são obtidos nos mesmos pontos que minimizam/maximizam
.
- Subcaso A: se
(isto é, ): - Em
temos , portanto atingido quando (ou seja ou simetricamente ). - O máximo ocorre em uma das bordas
. Comparamos e . A diferença é Assim: - Se
, então e o máximo é em : - Se
, então e o máximo é em : - Se
, as duas bordas dão o mesmo valor .
- Se
- Em
- Subcaso B: se
(aqui e também): - Não existe
no intervalo, então os extremos estão nas bordas:
- Não existe
(a ordem é essa porque o fator é positivo e
quando
.)
Passo 7
Caso
(fator
): multiplicar por número negativo inverte máximos e mínimos relativos de
.
- Não existe solução
porque . - Nos extremos
temos os quadrados e . Para vale (verificando a diferença indica que é o maior). Mas como o fator é negativo: - O valor mais negativo (mínimo de
) corresponde ao maior quadrado , ou seja - O valor menos negativo (máximo de
) corresponde ao menor quadrado , ou seja
- O valor mais negativo (mínimo de
Observe que ambos são negativos porque multiplicamos um quadrado positivo por um fator negativo.
Passo 8
Resumo das posições das soluções em termos de
:
-
(para ). -
. -
(quando ) ⇒ ou .
Resposta
Para
: função não definida (denominador zero).
Para
e
:
Se
:
Se
:
Se
:
Para
:
Para
: