Encontre soluções para
\tan ^{2} x \sin x=\sin x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as soluções reais x da equação
\tan^{2}x\sin x=\sin x.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\tan^{2}x\sin x=\sin x.
Não há mais dados; quero todas as soluções reais x.

Passo 2

Antes de manipular a equação, vou observar o domínio: \tan x está presente, então \tan x só está definida quando \cos x\neq 0. Os pontos onde \cos x=0 são
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
e nesses pontos a expressão \tan^{2}x\sin x é indefinida. Portanto esses valores devem ser excluídos da solução final (não podem satisfazer a equação porque o lado esquerdo não é definido).

Passo 3

Agora vou transformar a equação para usar a propriedade do produto nulo. Subtraio \sin x dos dois lados:
\tan^{2}x\sin x-\sin x=0.
Fatorando \sin x (o que é válido porque \sin x é uma função bem definida em todos os reais),
\sin x\bigl(\tan^{2}x-1\bigr)=0.
Pela propriedade do produto nulo, para essa igualdade ocorrer deve valer pelo menos um dos fatores igual a zero:
  • ou \sin x=0,
  • ou \tan^{2}x-1=0 (lembrando que aqui já estamos afastando os pontos \cos x=0 onde \tan não existe).

Passo 4

Caso 1: resolver \sin x=0.
A função seno é zero exatamente nos múltiplos inteiros de \pi. Logo as soluções deste caso são
x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Verificação rápida: nesses pontos \cos x=\pm1\neq0, então \tan x está bem definido e a equação inicial fica 0=0, tudo certo.

Passo 5

Caso 2: resolver \tan^{2}x-1=0, ou seja
\tan^{2}x=1.
Tomando raiz quadrada (lembrando as duas possibilidades),
\tan x=\pm 1.
A função tangente tem período \pi. As soluções de \tan x=1 são
x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
e as de \tan x=-1 são
x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Podemos juntar essas duas classes numa fórmula única observando que alternando termos de \frac{\pi}{4}+k\pi e -\frac{\pi}{4}+k\pi obtemos a sequência
x=\frac{\pi}{4}+m\frac{\pi}{2},\quad m\in\mathbb{Z},
pois para m=2n \frac{\pi}{4}+n\pi (tan =1) e para m=2n+1 \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}+n\pi=\frac{3\pi}{4}+n\pi (tan =-1). Note que nesses x temos \cos x\neq0, então não esbarramos em pontos onde \tan é indefinida.

Passo 6

Reunindo as soluções dos dois casos e lembrando de excluir os pontos onde \tan não existe (que não aparecem nas soluções encontradas), obtemos a solução geral completa como união das duas famílias encontradas:
x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z},
ou
x=\frac{\pi}{4}+m\frac{\pi}{2},\quad m\in\mathbb{Z}.

Resposta

x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}
x=\dfrac{\pi}{4}+m\dfrac{\pi}{2},\quad m\in\mathbb{Z}

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