Encontre soluções para
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as soluções reais
da equação
Informações relevantes que o enunciado dá:
Não há mais dados; quero todas as soluções reais
.
Passo 2
Antes de manipular a equação, vou observar o domínio:
está presente, então
só está definida quando
. Os pontos onde
são
e nesses pontos a expressão
é indefinida. Portanto esses valores devem ser excluídos da solução final (não podem satisfazer a equação porque o lado esquerdo não é definido).
Passo 3
Agora vou transformar a equação para usar a propriedade do produto nulo. Subtraio
dos dois lados:
Fatorando
(o que é válido porque
é uma função bem definida em todos os reais),
Pela propriedade do produto nulo, para essa igualdade ocorrer deve valer pelo menos um dos fatores igual a zero:
- ou
, - ou
(lembrando que aqui já estamos afastando os pontos onde não existe).
Passo 4
Caso 1: resolver
.
A função seno é zero exatamente nos múltiplos inteiros de . Logo as soluções deste caso são
A função seno é zero exatamente nos múltiplos inteiros de
Verificação rápida: nesses pontos
, então
está bem definido e a equação inicial fica
, tudo certo.
Passo 5
Caso 2: resolver
, ou seja
Tomando raiz quadrada (lembrando as duas possibilidades),
A função tangente tem período
. As soluções de
são
e as de
são
Podemos juntar essas duas classes numa fórmula única observando que alternando termos de
e
obtemos a sequência
pois para
dá
(tan
) e para
dá
(tan
). Note que nesses
temos
, então não esbarramos em pontos onde
é indefinida.
Passo 6
Reunindo as soluções dos dois casos e lembrando de excluir os pontos onde
não existe (que não aparecem nas soluções encontradas), obtemos a solução geral completa como união das duas famílias encontradas:
ou