Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
\int \frac{8 d w}{w^{2} \sqrt{4-w^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{8\,dw}{w^{2}\sqrt{4-w^{2}}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável de integração é w.
  • Há uma raiz \sqrt{4-w^{2}} no denominador, logo para interpretar a raiz real normalmente precisamos de |w|<2.
  • Há também w^{2} no denominador, então w\neq0.
  • A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função \dfrac{8}{w^{2}\sqrt{4-w^{2}}}.

Passo 2

Vamos escolher uma técnica apropriada: quando aparece \sqrt{a^{2}-w^{2}} é comum usar substituição trigonométrica w=a\sin\theta. Isso transforma a raiz em uma função simples de cosseno. Aqui a=2, então proponho
w = 2\sin\theta.
Explico o porquê: com w=2\sin\theta vem \sqrt{4-w^{2}}=\sqrt{4-4\sin^{2}\theta}=2\cos\theta (tomando \cos\theta\ge0 no intervalo apropriado), o que simplifica muito a integral.

Passo 3

Calculemos as substituições e o diferencial:
w = 2\sin\theta \quad\Rightarrow\quad \sin\theta=\frac{w}{2},
dw = 2\cos\theta\,d\theta,
w^{2} = 4\sin^{2}\theta,
\sqrt{4-w^{2}} = 2\cos\theta.

Passo 4

Substituindo na integral original:
\int \frac{8\,dw}{w^{2}\sqrt{4-w^{2}}} = \int \frac{8\cdot (2\cos\theta\,d\theta)}{(4\sin^{2}\theta)\cdot(2\cos\theta)}.
Agora simplificamos passo a passo:
\text{numerador} = 8\cdot 2\cos\theta\,d\theta = 16\cos\theta\,d\theta,
\text{denominador} = 4\sin^{2}\theta\cdot 2\cos\theta = 8\sin^{2}\theta\cos\theta,
logo
\int \frac{16\cos\theta\,d\theta}{8\sin^{2}\theta\cos\theta} = \int \frac{16}{8}\cdot \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta\cos\theta}\,d\theta = \int 2\cdot \frac{1}{\sin^{2}\theta}\,d\theta.
Portanto a integral ficou
\int 2\csc^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Conhecimento de cálculo básico: a derivada de \cot\theta é -\csc^{2}\theta. Assim a primitiva de \csc^{2}\theta é -\cot\theta. Portanto
\int 2\csc^{2}\theta\,d\theta = 2\int \csc^{2}\theta\,d\theta = 2(-\cot\theta) + C = -2\cot\theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora precisamos voltar para a variável w. Usando w=2\sin\theta temos
\sin\theta = \frac{w}{2},\qquad \cos\theta = \sqrt{1-\sin^{2}\theta} = \frac{\sqrt{4-w^{2}}}{2}.
Logo
\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\dfrac{\sqrt{4-w^{2}}}{2}}{\dfrac{w}{2}} = \frac{\sqrt{4-w^{2}}}{w}.
Substituindo em -2\cot\theta obtemos a primitiva em termos de w:
-2\cot\theta = -2\cdot\frac{\sqrt{4-w^{2}}}{w}.

Passo 7

Fazendo uma verificação rápida por diferenciação (útil para confiar no resultado). Seja
F(w) = -2\frac{\sqrt{4-w^{2}}}{w} = -2\frac{(4-w^{2})^{1/2}}{w}.
Calcule F'(w). Usando a regra do quociente (ou produto) e derivando com cuidado,
\left(\frac{\sqrt{4-w^{2}}}{w}\right)' = \frac{\left(\frac{d}{dw}\sqrt{4-w^{2}}\right)\cdot w - \sqrt{4-w^{2}}\cdot 1}{w^{2}}.
Como \dfrac{d}{dw}\sqrt{4-w^{2}} = \dfrac{-w}{\sqrt{4-w^{2}}}, temos
\left(\frac{\sqrt{4-w^{2}}}{w}\right)' = \frac{\left(-\dfrac{w}{\sqrt{4-w^{2}}}\right)w - \sqrt{4-w^{2}}}{w^{2}} = \frac{-\dfrac{w^{2}}{\sqrt{4-w^{2}}} - \sqrt{4-w^{2}}}{w^{2}}.
Colocando em denominador comum \sqrt{4-w^{2}},
= -\frac{w^{2} + (4-w^{2})}{w^{2}\sqrt{4-w^{2}}} = -\frac{4}{w^{2}\sqrt{4-w^{2}}}.
Multiplicando por -2 (pois F(w)=-2\cdot \frac{\sqrt{4-w^{2}}}{w}) obtemos
F'(w) = -2\cdot\left(-\frac{4}{w^{2}\sqrt{4-w^{2}}}\right) = \frac{8}{w^{2}\sqrt{4-w^{2}}},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-2\displaystyle\frac{\sqrt{4-w^{2}}}{w}+C

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