Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável de integração é
. - Há uma raiz
no denominador, logo para interpretar a raiz real normalmente precisamos de . - Há também
no denominador, então . - A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) da função
.
Passo 2
Vamos escolher uma técnica apropriada: quando aparece
é comum usar substituição trigonométrica
. Isso transforma a raiz em uma função simples de cosseno. Aqui
, então proponho
Explico o porquê: com
vem
(tomando
no intervalo apropriado), o que simplifica muito a integral.
Passo 3
Calculemos as substituições e o diferencial:
Passo 4
Substituindo na integral original:
Agora simplificamos passo a passo:
logo
Portanto a integral ficou
Passo 5
Conhecimento de cálculo básico: a derivada de
é
. Assim a primitiva de
é
. Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora precisamos voltar para a variável
. Usando
temos
Logo
Substituindo em
obtemos a primitiva em termos de
:
Passo 7
Fazendo uma verificação rápida por diferenciação (útil para confiar no resultado). Seja
Calcule
. Usando a regra do quociente (ou produto) e derivando com cuidado,
Como
, temos
Colocando em denominador comum
,
Multiplicando por
(pois
) obtemos
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.