Use o Teorema de Green para avaliar \oint_{C}\left(e^{x}+y^{2}\right) d x+\left(e^{y}+x^{2}\right) d y, onde C é a fronteira orientada positivamente da região no primeiro quadrante limitada por y=x^{2} e y=4.
onde C é a fronteira orientada positivamente da região D no primeiro quadrante limitada por y=x^{2} e y=4.
Informações dadas explicitamente:
A função a integrar é dada por P(x,y)=e^{x}+y^{2} (coeficiente de dx) e Q(x,y)=e^{y}+x^{2} (coeficiente de dy).
A curva C é a fronteira de uma região D no primeiro quadrante limitada abaixo pela parábola y=x^{2} e acima pela reta horizontal y=4.
A orientação de C é positiva (isto é, sentido anti-horário).
O que se pede:
Calcular o valor numérico da integral de linha fechada indicada ao longo de C.
Passo 2
Vou usar uma ferramenta que transforma integrais de linha fechadas em integrais de área — o enunciado já sugere isso (mas só estou descrevendo a ferramenta agora, não resolvendo). A fórmula é o Teorema de Green (caso das componentes P,Q suficientemente suaves):
Descriminar a região D e escolher os limites de integração. A região D está no primeiro quadrante entre y=x^{2} (embaixo) e y=4 (cima). A interseção entre y=x^{2} e y=4 dá x^{2}=4, ou seja x=2 (no primeiro quadrante x\ge0). Logo podemos descrever D como
Concluímos, portanto, que a integral de linha pedida vale -\dfrac{88}{5}. Força aí — esse tipo de problema costuma ser muito mais rápido usando Green do que calcular curva por curva.