Use o Teorema de Green para avaliar \oint_{C}\left(e^{x}+y^{2}\right) d x+\left(e^{y}+x^{2}\right) d y, onde C é a fronteira orientada positivamente da região no primeiro quadrante limitada por y=x^{2} e y=4.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral de linha
\oint_{C}\left(e^{x}+y^{2}\right)\,dx+\left(e^{y}+x^{2}\right)\,dy,
onde C é a fronteira orientada positivamente da região D no primeiro quadrante limitada por y=x^{2} e y=4.
Informações dadas explicitamente:
  • A função a integrar é dada por P(x,y)=e^{x}+y^{2} (coeficiente de dx) e Q(x,y)=e^{y}+x^{2} (coeficiente de dy).
  • A curva C é a fronteira de uma região D no primeiro quadrante limitada abaixo pela parábola y=x^{2} e acima pela reta horizontal y=4.
  • A orientação de C é positiva (isto é, sentido anti-horário).
O que se pede:
  • Calcular o valor numérico da integral de linha fechada indicada ao longo de C.

Passo 2

Vou usar uma ferramenta que transforma integrais de linha fechadas em integrais de área — o enunciado já sugere isso (mas só estou descrevendo a ferramenta agora, não resolvendo). A fórmula é o Teorema de Green (caso das componentes P,Q suficientemente suaves):
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
O que cada símbolo significa:
  • P(x,y) e Q(x,y) são as componentes da forma diferencial da integral de linha.
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x (trata y como constante).
  • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y (trata x como constante).
  • D é a região limitada por C.
  • A orientação positiva (anti-horária) é a hipótese padrão do Teorema de Green para aplicar essa igualdade.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que aparecem no integrando:
  • Para Q(x,y)=e^{y}+x^{2}, a derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial Q}{\partial x}=2x,
pois e^{y} é constante quando derivamos em x e d(x^{2})/dx=2x.
  • Para P(x,y)=e^{x}+y^{2}, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial P}{\partial y}=2y,
pois e^{x} é constante quando derivamos em y e d(y^{2})/dy=2y.
Portanto o integrando fica
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x-2y=2(x-y).

Passo 4

Descriminar a região D e escolher os limites de integração. A região D está no primeiro quadrante entre y=x^{2} (embaixo) e y=4 (cima). A interseção entre y=x^{2} e y=4 x^{2}=4, ou seja x=2 (no primeiro quadrante x\ge0). Logo podemos descrever D como
0\le x\le 2,\qquad x^{2}\le y\le 4.
Aplicando Green, temos a integral dupla
\iint_{D} 2(x-y)\,dA = \int_{x=0}^{2}\int_{y=x^{2}}^{4} 2(x-y)\,dy\,dx.

Passo 5

Calcular a integral iterada passo a passo.
Integral interna (em y):
\int_{y=x^{2}}^{4} 2(x-y)\,dy =2\left[\int_{y=x^{2}}^{4} x\,dy - \int_{y=x^{2}}^{4} y\,dy\right].
Calcule cada termo:
\int_{y=x^{2}}^{4} x\,dy = x\big|_{y=x^{2}}^{4}=x(4-x^{2})=4x-x^{3},
\int_{y=x^{2}}^{4} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{y=x^{2}}^{4}=\frac{16}{2}-\frac{x^{4}}{2}=8-\frac{x^{4}}{2}.
Substituindo:
\int_{y=x^{2}}^{4} 2(x-y)\,dy = 2\left[(4x-x^{3}) - \left(8-\frac{x^{4}}{2}\right)\right] =2\left(4x-x^{3}-8+\frac{x^{4}}{2}\right).
Simplificando:
2\left(4x-x^{3}-8+\frac{x^{4}}{2}\right)=8x-2x^{3}-16+x^{4}.
Agora integrar em x de 0 a 2:
\int_{0}^{2} \big(8x-2x^{3}-16+x^{4}\big)\,dx.
Integra termo a termo:
\int 8x\,dx = 4x^{2},\qquad \int -2x^{3}\,dx = -\tfrac{1}{2}x^{4},\qquad \int -16\,dx = -16x,\qquad \int x^{4}\,dx = \tfrac{x^{5}}{5}.
Avalia de 0 a 2:
\left[4x^{2}-16x-\tfrac{1}{2}x^{4}+\tfrac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{2}.
Substituindo x=2:
4(2)^{2}-16(2)-\tfrac{1}{2}(2)^{4}+\tfrac{(2)^{5}}{5} =4\cdot4-32-\tfrac{1}{2}\cdot16+\tfrac{32}{5} =16-32-8+\tfrac{32}{5}.
Somando os termos:
16-32-8=-24,\qquad -24+\tfrac{32}{5}=-\tfrac{120}{5}+\tfrac{32}{5}=-\tfrac{88}{5}.
(O valor em x=0 é zero.)

Passo 6

Concluímos, portanto, que a integral de linha pedida vale -\dfrac{88}{5}. Força aí — esse tipo de problema costuma ser muito mais rápido usando Green do que calcular curva por curva.

Resposta

-\dfrac{88}{5}

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