Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
\int \frac{3 d y}{\sqrt{1+9 y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3\,dy}{\sqrt{1+9y^{2}}}.
Informações dadas: a integração é em relação a y; o integrando tem uma raiz quadrada no denominador com termo quadrático em y. O que queremos é uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Idéia de resolução (sem resolver ainda): o integrando tem a forma \dfrac{\text{constante}\cdot dy}{\sqrt{1+(constante\cdot y)^2}}. Uma técnica padrão é fazer uma substituição linear para simplificar a expressão dentro da raiz, por exemplo definir uma nova variável que elimine o fator 3 dentro do quadrado. Vamos usar isso.

Passo 3

Fazer a substituição
u = 3y.
Agora diferenciamos para relacionar os diferenciais:
du = 3\,dy \quad\Rightarrow\quad dy=\frac{du}{3}.
Observe que escolhemos u=3y exatamente para que 1+9y^2 vire 1+u^2.

Passo 4

Transformar a integral em u. Substituindo u=3y e dy=\dfrac{du}{3} na integral:
\int \frac{3\,dy}{\sqrt{1+9y^{2}}} = \int \frac{3\cdot \dfrac{du}{3}}{\sqrt{1+u^{2}}} = \int \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}.
Repare que o fator 3 cancelou perfeitamente, ficando uma integral padrão em u.

Passo 5

Conhecer a primitiva padrão: a função cuja derivada é \dfrac{1}{\sqrt{1+u^{2}}} é a função arco-hiperbólica seno (também chamada de \operatorname{arsinh} ou \operatorname{arcsinh}). Em termos concretos vale
\frac{d}{du}\big(\operatorname{arsinh} u\big)=\frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}.
Posso demonstrar rapidamente: escrever \operatorname{arsinh} u=\ln\!\big(u+\sqrt{1+u^{2}}\big) e derivar dá exatamente 1/\sqrt{1+u^{2}}. Portanto uma antiderivada é \operatorname{arsinh} u.

Passo 6

Integrando em u:
\int \frac{du}{\sqrt{1+u^{2}}} = \operatorname{arsinh} u + C.

Passo 7

Voltar à variável original y usando u=3y:
\operatorname{arsinh} u + C = \operatorname{arsinh}(3y) + C.

Passo 8

Formula alternativa (útil para provas): a função \operatorname{arsinh} pode ser escrita como logaritmo:
\operatorname{arsinh} t = \ln\!\big(t+\sqrt{1+t^{2}}\big).
Aplicando com t=3y obtemos a forma equivalente
\operatorname{arsinh}(3y)+C = \ln\!\big(3y+\sqrt{1+9y^{2}}\big) + C.
Ambas as expressões representam a mesma família de primitivas.

Passo 9

Verificação rápida (opcional, mas reconfortante): derivando \operatorname{arsinh}(3y) por regra da cadeia,
\frac{d}{dy}\operatorname{arsinh}(3y) = \frac{3}{\sqrt{1+(3y)^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{1+9y^{2}}},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\operatorname{arsinh}(3y)+C = \ln\!\big(3y+\sqrt{1+9y^{2}}\big)+C

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