Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a integração é em relação a
; o integrando tem uma raiz quadrada no denominador com termo quadrático em
. O que queremos é uma primitiva (antiderivada) dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Idéia de resolução (sem resolver ainda): o integrando tem a forma
. Uma técnica padrão é fazer uma substituição linear para simplificar a expressão dentro da raiz, por exemplo definir uma nova variável que elimine o fator
dentro do quadrado. Vamos usar isso.
Passo 3
Fazer a substituição
Agora diferenciamos para relacionar os diferenciais:
Observe que escolhemos
exatamente para que
vire
.
Passo 4
Transformar a integral em
. Substituindo
e
na integral:
Repare que o fator
cancelou perfeitamente, ficando uma integral padrão em
.
Passo 5
Conhecer a primitiva padrão: a função cuja derivada é
é a função arco-hiperbólica seno (também chamada de
ou
). Em termos concretos vale
Posso demonstrar rapidamente: escrever
e derivar dá exatamente
. Portanto uma antiderivada é
.
Passo 6
Integrando em
:
Passo 7
Voltar à variável original
usando
:
Passo 8
Formula alternativa (útil para provas): a função
pode ser escrita como logaritmo:
Aplicando com
obtemos a forma equivalente
Ambas as expressões representam a mesma família de primitivas.
Passo 9
Verificação rápida (opcional, mas reconfortante): derivando
por regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.