Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
com a condição
. Informação relevante fornecida:
- A função integranda é
. - O domínio
indica que é real e positivo e que é positivo.
Passo 2
Escolha do método: quando aparece
é muito comum usar a substituição trigonométrica
. Aqui
. Vou usar
Explicação rápida e intuitiva: com
temos
, que simplifica bastante a raiz. Sobre o intervalo: como
tem-se
, então pode-se tomar
, garantindo seno, cosseno e tangente positivos (isso facilita sinais).
Passo 3
Calcular
e substituir na integral. Com
obtemos
Substituindo na integranda:
Agora simplifico passo a passo:
. Multiplicando por
cancela a
e sobra
Logo a integral fica
Passo 4
Integrar em
. Uso a identidade trigonométrica
Portanto
onde
é a constante de integração. A integral de
é
e a integral de
é
.
Passo 5
Voltar para a variável
. Temos das substituições iniciais:
e, portanto,
pode ser expresso por
pois
e, para
,
e
é apropriado no intervalo
. Substituindo em
obtemos
Passo 6
Verificação rápida (opcional, para dar segurança): derivando
obtém-se
, que coincide com a integranda (para
). Então a primitiva está correta.