Calcule as integrais dos exercícios 1-28.
\int \frac{\sqrt{y^{2}-49}}{y} d y, y>7

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{y^{2}-49}}{y}\,dy,
com a condição y>7. Informação relevante fornecida:
  • A função integranda é \dfrac{\sqrt{y^{2}-49}}{y}.
  • O domínio y>7 indica que \sqrt{y^{2}-49} é real e positivo e que y é positivo.

Passo 2

Escolha do método: quando aparece \sqrt{y^{2}-a^{2}} é muito comum usar a substituição trigonométrica y=a\operatorname{sec}\theta. Aqui a=7. Vou usar
y=7\operatorname{sec}\theta.
Explicação rápida e intuitiva: com y=7\operatorname{sec}\theta temos \sqrt{y^{2}-49}=\sqrt{49\operatorname{sec}^{2}\theta-49}=7\tan\theta, que simplifica bastante a raiz. Sobre o intervalo: como y>7 tem-se \operatorname{sec}\theta=\dfrac{y}{7}>1, então pode-se tomar \theta\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr), garantindo seno, cosseno e tangente positivos (isso facilita sinais).

Passo 3

Calcular dy e substituir na integral. Com y=7\operatorname{sec}\theta obtemos
dy = 7\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{y^{2}-49}=7\tan\theta.
Substituindo na integranda:
\frac{\sqrt{y^{2}-49}}{y}\,dy = \frac{7\tan\theta}{7\operatorname{sec}\theta}\cdot\bigl(7\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr).
Agora simplifico passo a passo: \dfrac{7\tan\theta}{7\operatorname{sec}\theta}= \dfrac{\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta}. Multiplicando por 7\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta cancela a \operatorname{sec}\theta e sobra
\frac{\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta}\cdot 7\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta = 7\tan^{2}\theta\,d\theta.
Logo a integral fica
\int \frac{\sqrt{y^{2}-49}}{y}\,dy = \int 7\tan^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Integrar em \theta. Uso a identidade trigonométrica
\tan^{2}\theta = \operatorname{sec}^{2}\theta - 1.
Portanto
\int 7\tan^{2}\theta\,d\theta = 7\int (\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta = 7\bigl(\tan\theta - \theta\bigr) + C,
onde C é a constante de integração. A integral de \operatorname{sec}^{2}\theta é \tan\theta e a integral de 1 é \theta.

Passo 5

Voltar para a variável y. Temos das substituições iniciais:
\tan\theta = \frac{\sqrt{y^{2}-49}}{7}, \qquad \operatorname{sec}\theta = \frac{y}{7},
e, portanto, \theta pode ser expresso por
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{7}{y}\right),
pois \cos\theta = 1/\operatorname{sec}\theta = 7/y e, para y>7, 7/y\in(0,1) e \operatorname{arccos} é apropriado no intervalo \bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr). Substituindo em 7(\tan\theta-\theta)+C obtemos
7\left(\frac{\sqrt{y^{2}-49}}{7} - \operatorname{arccos}\!\left(\frac{7}{y}\right)\right) + C = \sqrt{y^{2}-49} - 7\operatorname{arccos}\!\left(\frac{7}{y}\right) + C.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, para dar segurança): derivando
F(y)=\sqrt{y^{2}-49}-7\operatorname{arccos}\!\left(\frac{7}{y}\right)
obtém-se \dfrac{dF}{dy}=\dfrac{y}{\sqrt{y^{2}-49}}-\dfrac{49}{y\sqrt{y^{2}-49}}=\dfrac{\sqrt{y^{2}-49}}{y}, que coincide com a integranda (para y>7). Então a primitiva está correta.

Resposta

\sqrt{y^{2}-49}-7\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{7}{y}\right)+C

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