Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
\int_{0}^{1} \frac{16 x d x}{8 x^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede
\int_{0}^{1}\frac{16\,x\,dx}{8x^{2}+2}
e sugere usar substituição para reduzir à forma \int u'/u\,du.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 8x^{2}+2,
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du = 16x\,dx.
Assim o numerador 16x\,dx se torna du.

Passo 3

Mudamos também os limites de integração:
quando x=0, u=8\cdot0^{2}+2=2;
quando x=1, u=8\cdot1^{2}+2=10.
A integral passa a ser
\int_{2}^{10}\frac{du}{u}.

Passo 4

Sabendo que
\int\frac{du}{u}=\ln\lvert u\rvert,
temos
\int_{2}^{10}\frac{du}{u} =\bigl[\ln\lvert u\rvert\bigr]_{2}^{10} =\ln(10)-\ln(2) =\ln\!\bigl(\tfrac{10}{2}\bigr) =\ln(5).

Resposta

\ln(5)

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