Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
\int \operatorname{cotg}^{3} y \operatorname{cosec}^{2} y d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cot^3 y \,\csc^2 y \,dy.
O conteúdo envolvido é integração por substituição, aproveitando que a derivada de \cot y é proporcional a \csc^2 y.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cot y.
Derivando em relação a y,
du = -\csc^2 y \,dy \quad\Longrightarrow\quad \csc^2 y \,dy = -\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \cot^3 y \,\csc^2 y \,dy = \int u^3 \,(-du) = -\int u^3 \,du.
Agora é a forma-padrão \int u^n du, logo
-\int u^3 \,du = -\frac{u^4}{4} + C.

Resposta

-\frac{\cot^4 y}{4} + C.

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