Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
\int \frac{d x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}

Passo 1

O enunciado nos dá a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}
e pede para usar uma substituição que a reduza a uma forma-padrão de integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \sqrt{x},
então
x = t^2 \quad\text{e}\quad dx = 2t\,dt.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \frac{dx}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)} = \int \frac{2t\,dt}{t\,(t+1)} = \int \frac{2\,dt}{t+1}.

Passo 4

Reconhecemos a integral padrão
\int \frac{2\,dt}{t+1} = 2 \int \frac{dt}{t+1} = 2 \ln\lvert t+1\rvert + C.

Passo 5

Voltando à variável x, com t = \sqrt{x}, a primitiva é
2 \ln\lvert \sqrt{x}+1\rvert + C.

Resposta

2 \ln\lvert \sqrt{x}+1\rvert + C

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