Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
\int_{\pi / 4}^{\pi / 3} \frac{\operatorname{sec} ^{2} z}{\operatorname{tg} z} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\pi/4}^{\pi/3}\frac{\operatorname{sec}^{2}z}{\tan z}\,dz
usando uma substituição para reduzi-la à forma-padrão \int du/u. Vamos usar a substituição u=\tan z.

Passo 2

Fazendo u=\tan z temos
du=\operatorname{sec}^{2}z\,dz.
Assim, \operatorname{sec}^{2}z\,dz=du e o integrando fica \dfrac{du}{u}.

Passo 3

Mudando os limites de integração:
para z=\pi/4 vem u=\tan(\pi/4)=1,
para z=\pi/3 vem u=\tan(\pi/3)=\sqrt{3}.
Então a integral torna-se
\int_{1}^{\sqrt{3}}\frac{du}{u}.

Passo 4

Sabendo que
\int\frac{du}{u}=\ln\bigl|u\bigr|+C,
a integral definida é
\left.\ln\bigl|u\bigr|\right|_{1}^{\sqrt{3}} =\ln\bigl(\sqrt{3}\bigr)-\ln(1).

Resposta

\ln\bigl(\sqrt{3}\bigr)

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