Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
11.
\int e^{\theta} \operatorname{cosec}\left(e^{\theta}+1\right) d \theta

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int e^{\theta}\,\csc\bigl(e^{\theta}+1\bigr)\,d\theta.
O conteúdo é integração por substituição, reduzindo a um caso padrão de \int\csc(u)\,du.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = e^{\theta} + 1.
Dessa forma,
du = e^{\theta}\,d\theta.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int e^{\theta}\,\csc\bigl(e^{\theta}+1\bigr)\,d\theta = \int \csc(u)\,du.

Passo 4

Sabemos da forma-padrão que
\int \csc(u)\,du = -\ln\bigl|\csc(u)+\cot(u)\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável \theta (isto é, u = e^{\theta}+1), a antiderivada fica
-\ln\bigl|\csc\bigl(e^{\theta}+1\bigr)+\cot\bigl(e^{\theta}+1\bigr)\bigr| + C.

Resposta

-\ln\bigl|\csc\bigl(e^{\theta}+1\bigr)+\cot\bigl(e^{\theta}+1\bigr)\bigr| + C.

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