Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
13.
\int \operatorname{sec} \frac{t}{3} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr)\,dt
usando uma substituição que reduza a integral à forma-padrão de \int \operatorname{sec}(u)\,du.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \tfrac{t}{3}.
Então u é uma função linear em t, e precisamos expressar dt em termos de du.

Passo 3

Derivando u em relação a t, temos
du = \tfrac{1}{3}\,dt \quad\Longrightarrow\quad dt = 3\,du.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
\int \operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr)\,dt = \int \operatorname{sec}(u)\,\bigl(3\,du\bigr) = 3 \int \operatorname{sec}(u)\,du.

Passo 5

Sabemos da forma-padrão que
\int \operatorname{sec}(u)\,du = \ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| + C.
Logo,
3 \int \operatorname{sec}(u)\,du = 3\,\ln\bigl|\operatorname{sec}(u)+\tan(u)\bigr| + C.

Passo 6

Retornando à variável t pela relação u = \tfrac{t}{3}, fica
3\,\ln\Bigl|\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr)+\tan\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr)\Bigr| + C.

Resposta

\int \operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr)\,dt = 3\,\ln\Bigl|\operatorname{sec}\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr)+\tan\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr)\Bigr| + C.

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