Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
14.
\int x \operatorname{sec} \left(x^{2}-5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}-5\bigr)\,dx
usando substituição para reduzir à forma-padrão de uma integral de \operatorname{sec} u. Vamos precisar reconhecer que x\,dx pode virar du se escolhermos bem a substituição.

Passo 2

Escolhemos
u = x^{2} - 5,
logo
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
Substituindo na integral, obtemos
\int x\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}-5\bigr)\,dx = \int \operatorname{sec}(u)\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\,\int \operatorname{sec}(u)\,du.

Passo 3

Lembrando a forma-padrão
\int \operatorname{sec}(u)\,du = \ln\bigl|\operatorname{sec}(u) + \tan(u)\bigr| + C,
temos
\frac{1}{2}\,\int \operatorname{sec}(u)\,du = \frac{1}{2}\,\ln\bigl|\operatorname{sec}(u) + \tan(u)\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável original x com u = x^{2}-5, a antiderivada final é
\frac{1}{2}\,\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\bigl(x^{2}-5\bigr) + \tan\bigl(x^{2}-5\bigr)\bigr| + C.

Resposta

\int x\,\operatorname{sec}\bigl(x^{2}-5\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\,\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\bigl(x^{2}-5\bigr) + \tan\bigl(x^{2}-5\bigr)\bigr| + C.

Exercícios relacionados