Calcule as integrais dos exercícios 47-52 reduzindo a fração imprópria e usando uma substituição (quando necessário) para reduzilas à forma-padrão.
\int_{\sqrt{2}}^{3} \frac{2 x^{3}}{x^{2}-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{\sqrt{2}}^{3} \frac{2x^{3}}{x^{2}-1}\,dx.
O conteúdo envolve redução de fração imprópria (divisão de polinômios) e uso de substituição para reduzir à forma padrão de \int \frac{du}{u}.

Passo 2

Dividimos a fração imprópria:
\frac{2x^{3}}{x^{2}-1} =2x\;\frac{x^{2}}{x^{2}-1} =2x\Bigl(1+\frac{1}{x^{2}-1}\Bigr) =2x+\frac{2x}{x^{2}-1}.

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
\int \frac{2x^{3}}{x^{2}-1}\,dx =\int 2x\,dx+\int \frac{2x}{x^{2}-1}\,dx.
O primeiro termo é imediato:
\int 2x\,dx = x^{2}.

Passo 4

Para o segundo termo, fazemos u = x^{2}-1, logo du = 2x\,dx. Assim,
\int \frac{2x}{x^{2}-1}\,dx =\int \frac{du}{u} =\ln\lvert u\rvert =\ln\lvert x^{2}-1\rvert.

Passo 5

A primitiva geral fica
F(x)=x^{2}+\ln\lvert x^{2}-1\rvert.
Avaliando de x=\sqrt{2} até x=3:
F(3)=9+\ln(9-1)=9+\ln 8, \qquad F(\sqrt{2})=2+\ln(2-1)=2+\ln1=2.
Logo
\int_{\sqrt{2}}^{3}\frac{2x^{3}}{x^{2}-1}\,dx =F(3)-F(\sqrt{2}) =(9+\ln8)-2 =7+\ln8 =7+3\ln2.

Resposta

7 + 3\ln2

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