Calcule as integrais dos exercícios 47-52 reduzindo a fração imprópria e usando uma substituição (quando necessário) para reduzilas à forma-padrão.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
O conteúdo é integração de função racional imprópria. Para resolver, primeiro fazemos a divisão de polinômios para escrever a fração como soma de um polinômio e uma fração própria; em seguida, integramos termo a termo, usando substituição na parte que ficar com
.
Passo 2
Fazemos a divisão de
por
:
- O quociente inicial é
, pois . Multiplicando, . - Subtraindo de
sobra . - O próximo termo do quociente é
, pois . Multiplicando, . - Subtraindo surge resto
.
Logo
Passo 3
Substituindo na integral, temos
Passo 4
Integramos cada parte:
- Para
, a antiderivada é . - Para
, fazemos , então e
Como havia fator
fora, isso dá
.
Portanto, uma antiderivada conjunta é
Passo 5
Agora avaliamos entre
e
:
Logo o valor da integral é