Calcule as integrais dos exercícios 47-52 reduzindo a fração imprópria e usando uma substituição (quando necessário) para reduzilas à forma-padrão.
\int \frac{2 \theta^{3}-7 \theta^{2}+7 \theta}{2 \theta-5} d \theta

Passo 1

O enunciado pede a integral da função racional imprópria
\int \frac{2 \theta^{3}-7 \theta^{2}+7 \theta}{2 \theta-5}\,d\theta
O conteúdo necessário é divisão de polinômios para reduzir à forma própria e, se aparecer um termo da forma \frac{1}{a\theta+b}, usar substituição para chegar à primitiva padrão.

Passo 2

Fazemos a divisão de polinômios de 2\theta^{3}-7\theta^{2}+7\theta por 2\theta-5. O quociente é \theta^{2}-\theta+1 e o resto é 5. Portanto,
\frac{2 \theta^{3}-7 \theta^{2}+7 \theta}{2 \theta-5} = \theta^{2}-\theta+1 + \frac{5}{2\theta-5}.

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
\int \Bigl(\theta^{2}-\theta+1\Bigr)\,d\theta \;+\;5\int \frac{1}{2\theta-5}\,d\theta.
A primeira é direta, pois integra polinômios.

Passo 4

Integramos a parte polinomial:
\int \theta^{2}\,d\theta = \frac{\theta^{3}}{3}, \quad \int (-\theta)\,d\theta = -\frac{\theta^{2}}{2}, \quad \int 1\,d\theta = \theta.
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\int \bigl(\theta^{2}-\theta+1\bigr)\,d\theta = \frac{\theta^{3}}{3} - \frac{\theta^{2}}{2} + \theta.

Passo 5

Para 5\int \frac{1}{2\theta-5}\,d\theta, fazemos u=2\theta-5, daí du=2\,d\theta ou d\theta=\frac{du}{2}. Assim,
5\int \frac{1}{2\theta-5}\,d\theta = 5\int \frac{1}{u}\,\frac{du}{2} = \frac{5}{2}\ln\bigl|u\bigr| = \frac{5}{2}\ln\bigl|2\theta-5\bigr|.

Resposta

\boxed{ \int \frac{2 \theta^{3}-7 \theta^{2}+7 \theta}{2 \theta-5}\,d\theta = \frac{\theta^{3}}{3} - \frac{\theta^{2}}{2} + \theta + \frac{5}{2}\,\ln\bigl|2\theta-5\bigr| + C }.

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