Calcule as integrais dos exercícios 47-52 reduzindo a fração imprópria e usando uma substituição (quando necessário) para reduzilas à forma-padrão.
\int \frac{4 t^{3}-t^{2}+16 t}{t^{2}+4} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{4t^{3}-t^{2}+16t}{t^{2}+4}\,dt
usando redução de fração imprópria e, quando necessário, substituição. Vamos precisar de divisão de polinômios e da forma-padrão
\int \frac{1}{t^{2}+a^{2}}\,dt = \frac{1}{a}\arctan\!\frac{t}{a}.

Passo 2

Fazemos a divisão de 4t^{3}-t^{2}+16t por t^{2}+4. O quociente é 4t e o resto é -t^{2}, logo
\frac{4t^{3}-t^{2}+16t}{t^{2}+4} =4t - \frac{t^{2}}{t^{2}+4}.
Então
\int \frac{4t^{3}-t^{2}+16t}{t^{2}+4}\,dt =\int\bigl(4t - \tfrac{t^{2}}{t^{2}+4}\bigr)\,dt.

Passo 3

Reduzimos a fração \frac{t^{2}}{t^{2}+4} escrevendo t^{2}=(t^{2}+4)-4. Assim,
\frac{t^{2}}{t^{2}+4} =1 - \frac{4}{t^{2}+4},
e o integrando vira
4t - 1 + \frac{4}{t^{2}+4}.

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int 4t\,dt = 2t^{2}, \quad \int(-1)\,dt = -t.
Para \displaystyle \int \frac{4}{t^{2}+4}\,dt, fazemos a substituição
\,u=\frac{t}{2}, logo \,du=\frac{dt}{2} e t^{2}+4=4(u^{2}+1). Então
\int \frac{4}{t^{2}+4}\,dt =\int \frac{4}{4(u^{2}+1)}\cdot2\,du =2\int \frac{du}{u^{2}+1} =2\arctan(u) =2\arctan\!\frac{t}{2}.

Resposta

2t^{2}-t+2\arctan\!\frac{t}{2}+C.

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