Calcule as integrais dos exercícios 47-52 reduzindo a fração imprópria e usando uma substituição (quando necessário) para reduzilas à forma-padrão.
\int_{-1}^{3} \frac{4 x^{2}-7}{2 x+3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{3} \frac{4x^{2}-7}{2x+3}\,dx.
O conteúdo é integração de função racional imprópria. Para resolver, primeiro fazemos a divisão de polinômios para escrever a fração como soma de um polinômio e uma fração própria; em seguida, integramos termo a termo, usando substituição na parte que ficar com 1/(2x+3).

Passo 2

Fazemos a divisão de 4x^{2}-7 por 2x+3:
  1. O quociente inicial é 2x, pois \frac{4x^{2}}{2x}=2x. Multiplicando, 2x\cdot(2x+3)=4x^{2}+6x.
  2. Subtraindo de 4x^{2}-7 sobra -6x-7.
  3. O próximo termo do quociente é -3, pois \frac{-6x}{2x}=-3. Multiplicando, -3\cdot(2x+3)=-6x-9.
  4. Subtraindo surge resto 2.
Logo
\frac{4x^{2}-7}{2x+3}=2x-3+\frac{2}{2x+3}.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{-1}^{3} \frac{4x^{2}-7}{2x+3}\,dx =\int_{-1}^{3}\bigl(2x-3\bigr)\,dx +2\int_{-1}^{3}\frac{1}{2x+3}\,dx.

Passo 4

Integramos cada parte:
  • Para \int(2x-3)\,dx, a antiderivada é x^{2}-3x.
  • Para \int\frac{1}{2x+3}\,dx, fazemos u=2x+3, então du=2\,dx e
\int\frac{1}{2x+3}\,dx =\int\frac{1}{u}\,\frac{du}{2} =\frac12\ln\lvert u\lvert =\frac12\ln\lvert 2x+3\lvert.
Como havia fator 2 fora, isso dá \ln\lvert 2x+3\lvert.
Portanto, uma antiderivada conjunta é
F(x)=x^{2}-3x+\ln\lvert 2x+3\lvert.

Passo 5

Agora avaliamos entre x=-1 e x=3:
F(3)=3^{2}-3\cdot3+\ln\lvert 2\cdot3+3\lvert =9-9+\ln(9)=\ln9,
F(-1)=(-1)^{2}-3\cdot(-1)+\ln\lvert 2\cdot(-1)+3\lvert =1+3+\ln(1)=4+0=4.
Logo o valor da integral é
F(3)-F(-1)=\ln9-4=2\ln3-4.

Resposta

2\ln3 - 4

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