Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nessa secção:
Calcule as integrais:
\int \frac{x d x}{(x+3)^{10}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x}{(x+3)^{10}}\,dx
usando uma substituição u apropriada. O conteúdo aqui é integração por substituição, em que escolhemos u=x+3 para simplificar o denominador.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = x+3
\implies x = u - 3,\quad dx = du,
temos
\int \frac{x}{(x+3)^{10}}\,dx = \int \frac{u-3}{u^{10}}\,du = \int \bigl(u^{-9} - 3\,u^{-10}\bigr)\,du.

Passo 3

Integramos termo a termo:
\int u^{-9}\,du = \frac{u^{-8}}{-8}, \qquad \int (-3\,u^{-10})\,du = -3\cdot\frac{u^{-9}}{-9} = \frac{1}{3}\,u^{-9}.
Somando e incluindo a constante C:
-\frac{1}{8}\,u^{-8} + \frac{1}{3}\,u^{-9} + C.

Passo 4

Voltando à variável x u=x+3:
-\frac{1}{8\,(x+3)^{8}} + \frac{1}{3\,(x+3)^{9}} + C.

Resposta

-\frac{1}{8\,(x+3)^{8}} + \frac{1}{3\,(x+3)^{9}} + C

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