Calcule as integrais fazendo a substituição u apropriada e aplicando as fórmulas revisadas nessa secção:
Calcule as integrais:
\int \frac{3 x}{\sqrt{4 x^{2}+5}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+5}}\,dx
usando substituição u. O conteúdo aqui é reconhecer que, ao definir u como expressão quadrática no denominador, transformamos a integral num poder de u que é direto de integrar.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 4x^{2} + 5.
Então, derivando em relação a x, obtemos
du = 8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{8}.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+5}}\,dx = 3 \int \frac{x\,dx}{\sqrt{u}} = 3 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{8} = \frac{3}{8} \int u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de potência para integrar u^{-\tfrac12}:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12} + C.
Logo,
\frac{3}{8} \int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{3}{8}\,\bigl(2\,u^{\tfrac12}\bigr) + C = \frac{3}{4}\,u^{\tfrac12} + C.

Passo 5

Por fim, voltamos para a variável x lembrando que u=4x^{2}+5:
\frac{3}{4}\,u^{\tfrac12} + C = \frac{3}{4}\,\sqrt{4x^{2}+5} + C.

Resposta

\int \frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+5}}\,dx = \frac{3}{4}\,\sqrt{4x^{2}+5} + C.

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