Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
\int \operatorname{sen}^{5} 3 t \cdot \cos 3 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sen}^{5}(3t)\,\cos(3t)\,dt
usando uma substituição apropriada. O conteúdo principal é integração por substituição em funções trigonométricas: reconhecer parte da integral cuja derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \operatorname{sen}(3t).
Então derivando em relação a t temos
du = 3\cos(3t)\,dt \quad\Longrightarrow\quad \cos(3t)\,dt = \frac{du}{3}.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int \operatorname{sen}^{5}(3t)\,\cos(3t)\,dt = \int u^{5}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{5}\,du.
Agora integramos em u:
\frac{1}{3}\int u^{5}\,du = \frac{1}{3}\,\frac{u^{6}}{6} = \frac{u^{6}}{18} + C.

Passo 4

Voltando à variável t, como u=\operatorname{sen}(3t), temos
\int \operatorname{sen}^{5}(3t)\,\cos(3t)\,dt = \frac{\operatorname{sen}^{6}(3t)}{18} + C.

Resposta

\frac{\operatorname{sen}^{6}(3t)}{18} + C

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