Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral usando uma substituição apropriada. A integral dada é
Observações e informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A função integranda é o produto de uma potência de seno elevada a
por . - O argumento da função trigonométrica é
. - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) usando uma substituição adequada.
Passo 2
Escolha da substituição. Uma boa escolha vem de identificar uma parte da integranda cuja derivada aparece também na integranda (até constante). Aqui a parte
está elevada a uma potência e aparece multiplicada por
. Então fazemos a substituição
Explicando por quê: ao derivar
em relação a
surge
multiplicada por uma constante, exatamente a peça que temos na integral.
Passo 3
Calcular o diferencial e reescrever a integral em
. Diferenciando
obtemos
Isolando
temos
Substituindo na integral original:
Passo 4
Integrar em
usando a regra da potência. Lembrete da regra da potência para primitivas: para
,
Aplicando com
e o fator
:
Passo 5
Voltar à variável original substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (confirmação usando regra da cadeia). Diferenciando a primitiva:
Como
, segue
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.