Calcule as integrais fazendo a substituição apropriada.
\int \operatorname{sen}^{5} 3 t \cdot \cos 3 t d t

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral usando uma substituição apropriada. A integral dada é
\int \operatorname{sen}^{5} 3 t \cdot \cos 3 t \, d t.
Observações e informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função integranda é o produto de uma potência de seno elevada a 5 por \cos 3t.
  • O argumento da função trigonométrica é 3t.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) usando uma substituição adequada.

Passo 2

Escolha da substituição. Uma boa escolha vem de identificar uma parte da integranda cuja derivada aparece também na integranda (até constante). Aqui a parte \sin(3t) está elevada a uma potência e aparece multiplicada por \cos(3t)\,dt. Então fazemos a substituição
u=\sin(3t).
Explicando por quê: ao derivar u em relação a t surge \cos(3t) multiplicada por uma constante, exatamente a peça que temos na integral.

Passo 3

Calcular o diferencial e reescrever a integral em u. Diferenciando u=\sin(3t) obtemos
du=3\cos(3t)\,dt.
Isolando \cos(3t)\,dt temos
\cos(3t)\,dt=\frac{1}{3}\,du.
Substituindo na integral original:
\int \sin^{5}(3t)\cos(3t)\,dt = \int u^{5}\cdot\frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Integrar em u usando a regra da potência. Lembrete da regra da potência para primitivas: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=5 e o fator \tfrac{1}{3}:
\int u^{5}\cdot\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{6}}{6}+C = \frac{u^{6}}{18}+C.

Passo 5

Voltar à variável original substituindo u=\sin(3t). Assim a primitiva encontrada é
\frac{1}{18}\sin^{6}(3t)+C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (confirmação usando regra da cadeia). Diferenciando a primitiva:
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{18}\sin^{6}(3t)\right)=\frac{1}{18}\cdot 6\sin^{5}(3t)\cdot\frac{d}{dt}\big(\sin(3t)\big).
Como \dfrac{d}{dt}\big(\sin(3t)\big)=3\cos(3t), segue
\frac{1}{18}\cdot 6\sin^{5}(3t)\cdot 3\cos(3t)=\sin^{5}(3t)\cos(3t),
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{1}{18}\sin^{6}(3t)+C

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